เซตนับได้

เซตนับได้ (อังกฤษ: countable set) คือเซตที่มีภาวะเชิงการนับ (จำนวนของสมาชิก) เหมือนกับบางเซตย่อยของเซตของจำนวนธรรมชาติ ในทางตรงข้าม เซตที่ไม่สามารถนับได้เรียกว่า เซตนับไม่ได้ (uncountable set) ศัพท์คำนี้นิยามโดยเกออร์ก คันทอร์ สมาชิกของเซตนับได้สามารถถูกนับจำนวนได้ในครั้งหนึ่ง ๆ ถึงแม้ว่าการนับนั้นจะไม่มีวันสิ้นสุดก็ตาม สมาชิกทุก ๆ ตัวของเซตจะถูกจับคู่กับจำนวนธรรมชาติจำนวนใดจำนวนหนึ่งในที่สุด

ผู้แต่งตำราบางท่านใช้ศัพท์ เซตนับได้ ว่าหมายถึงเซตที่มีภาวะเชิงการนับเหมือนกับเซตของจำนวนธรรมชาติ ความแตกต่างระหว่างนิยามสองนิยามนี้คือ เซตจำกัดจัดว่าเป็นเซตนับได้ภายใต้นิยามแรก ในขณะที่นิยามหลัง เซตจำกัดไม่ถือว่าเป็นเซตนับได้ เพื่อแก้ความกำกวมนี้ บางครั้งจึงใช้ศัพท์ว่า เซตนับได้เป็นอย่างมาก (at most countable set) สำหรับนิยามแรกและ เซตอนันต์นับได้ (countably infinite set) สำหรับนิยามหลัง นอกจากนี้ศัพท์ว่า denumerable set ก็ยังใช้ในความหมายของเซตอนันต์นับได้ หรือเซตนับได้ ในทางตรงข้ามก็ใช้คำว่า nondenumerable set คือเซตนับไม่ได้

นิยาม

เซต S จะเรียกว่า เซตนับได้ ถ้ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง f จาก S ไปยังจำนวนธรรมชาติ N = {0, 1, 2, 3, ...}

ถ้า f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง และกลายเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (เนื่องจาก f ได้นิยามให้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว) ดังนั้น S จะเรียกว่า เซตอนันต์นับได้

จากนิยามข้างต้นจะเห็นว่าศัพท์คำนี้มีความหมายไม่ครอบคลุม ผู้แต่งตำราบางท่านจึงใช้ศัพท์เซตนับได้อธิบายถึงเซตอนันต์นับได้แทน และไม่รวมเซตจำกัดเข้าไปด้วย

อ้างอิง

1. สำหรับตัวอย่างการใช้เช่นนี้ดูที่ (Rudin 1976, Chapter 2)
2. ดูที่ (Lang 1993, §2 of Chapter I)
3. ดูที่ (Apostol 1969, Chapter 13.19)
4. ไม่มีความแตกต่างกันในการพิจารณาว่า 0 เป็นจำนวนธรรมชาติหรือไม่ เนื่องจากความสัมพันธ์หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่าง N และ N* = {1, 2, 3, ...} ปรากฏชัด บทความนี้ใช้นิยามตาม ISO 31-11 และหลักเกณฑ์มาตรฐานในคณิตตรรกศาสตร์ ซึ่ง 0 ก็เป็นจำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่ง

• Lang, Serge (1993), Real and Functional Analysis, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94001-4
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X