ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ

ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ (อังกฤษ: Product measure) ในทฤษฎีเมเชอร์ กำหนดปริภูมิเมเชอร์สองปริภูมิใด ๆ เราจะสามารถสร้างปริภูมิเมเชอร์ใหม่ขึ้นมาจากสองปริภูมิดังกล่าวได้เสมอ และเราจะเรียกปริภูมิเมเชอร์ที่สร้างขึ้นมาใหม่นี้ว่า "ปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ" (product measure space). การสร้างปริภูมิเมเชอร์ผลคูณจากสองปริภูมิตั้งต้นนั้น แท้จริงแล้วก็เสมือนการสร้างเซตใหม่จากสองเซตโดยใช้ผลคูณคาร์ทีเซียน หรือสร้างปริภูมิทอพอโลยีผลคูณจากสองปริภูมิทอพอโลยีนั่นเอง

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด ${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1},\mu _{1})}$  และ ${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2},\mu _{2})}$  เป็นปริภูมิเมเชอร์. เรานิยามปริภูมิเมเชอร์ผลคูณ ${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\times \Sigma _{2},\mu _{1}\times \mu _{2})}$  ดังนี้

1. ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$  คือ ผลคูณคาร์ทีเซียนของ ${\displaystyle X_{1}}$  และ ${\displaystyle X_{2}}$ 
2. พีชคณิตซิกมาผลคูณ: ${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}}$  คือ พีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดที่มี ${\displaystyle A_{1}\times A_{2}}$  เป็นสมาชิก โดย ${\displaystyle A_{1}\in \Sigma _{1}}$  และ ${\displaystyle A_{2}\in \Sigma _{2}}$ .
3. เมเชอร์ผลคูณ: ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$  นิยามโดย ให้เป็นเมเชอร์ที่มีคุณสมบัติ

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$  เมื่อ

${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}.}$ 

โดยเมเชอร์ที่มีคุณสมบัตินี้ นิยามได้หลายแบบ แต่ถ้าเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่า ปริภูมิตั้งต้นทั้งสอง เป็นชนิดซิกมาจำกัด เราจะได้ว่า ${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$  มีเพียงรูปแบบเดียวและเท่ากับ

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1},}$ 

สำหรับทุก ๆ เซตหาเมเชอร์ได้ E โดย E_x = {y∈X₂| (x,y) ∈E}, และ E^y = {x∈X₁| (x,y) ∈E} และทั้งสองก็เป็นเซตที่สามารถวัดได้.