เหตุผลวิบัติของนักการพนัน

เหตุผลวิบัติของนักการพนัน (อังกฤษ: gambler's fallacy) หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า เหตุผลวิบัติมอนตีคาร์โล (อังกฤษ: Monte Carlo fallacy) เป็นความเชื่อผิด ๆ ว่า ถ้าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นบ่อยกว่าปกติในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ เหตุการณ์นั้นก็จะเกิดขึ้นบ่อยครั้งน้อยลงในอนาคต หรือว่า ถ้าเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นน้อยกว่าปกติในช่วงเวลาหนึ่ง ๆ เหตุการณ์นั้นก็จะเกิดบ่อยขึ้นในอนาคต เพื่อที่จะให้เกิดการสมดุลกัน แต่ว่าถ้าสิ่งที่เกิดขึ้นเป็นเหตุการณ์สุ่ม คือเป็นการลองตามลำดับที่เป็นอิสระทางสถิติ (statistical independent trial) ของกระบวนการสุ่ม แม้ว่าความเชื่อนี้จะดึงดูดใจ แต่ก็จะไม่เป็นความจริง เหตุผลวิบัตินี้เกิดขึ้นได้ในสถานการณ์จริง ๆ มากมาย แต่มักจะมีการกล่าวถึงในเรื่องของการเล่นการพนัน เพราะเป็นเหตุผลวิบัติที่คนเล่นการพนันมีโดยสามัญ

ส่วนคำบัญญัติว่า "เหตุผลวิบัติมอนตีคาร์โล" มีกำเนิดมาจากตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของเหตุผลวิบัตินี้ ซึ่งเกิดขึ้นในบ่อนกาสิโนมอนตีคาร์โลในปี ค.ศ. 1913

การโยนเหรียญ

 

การจำลองการโยนเหรียญ ในแต่ละเฟรม จะมีการโยนเหรียญที่ออกแดงหรือน้ำเงิน โดยจะเพิ่มคะแนนที่บันทึกไว้ในแต่ละข้าง ส่วนแผนภูมิรูปวงกลมจะแสดงอัตราส่วนของสีแดงเทียบกับสีน้ำเงิน ที่เข้าไปใกล้ 50-50 (ตามกฎเลขจำนวนมาก หรือ Law of Large Numbers) แต่ว่า จำนวนสีแดงและสีน้ำเงินทั้งหมดจะไม่เท่ากัน 100%

เหตุผลวิบัติของนักการพนันจะเห็นได้ในการโยนเหรียญที่สมดุล ที่ผลที่ออกแต่ละครั้งจะเป็นอิสระทางสถิติจากกันและกัน และค่าความน่าจะเป็นของการออกหัวในแต่ละครั้งจะเป็น 1/2 คือหนึ่งในสอง พอดี ดังนั้น ความน่าจะเป็นของการออกหัวสองครั้งต่อกันก็จะเป็น 1/4 (1 ใน 4) และของการออกหัวสามครั้งต่อกันก็จะเป็น 1/8 (1 ใน 8) ฉะนั้นถ้าสมมุติว่า A_i เป็นเหตุการณ์ที่การโยนเหรียญครั้งที่ i ออกหัว เราก็จะได้

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})={1 \over 2^{n}}}$ .

ถ้าตอนนี้เราสมมุติว่า เหรียญได้ออกหัวสี่ครั้งต่อกันแล้ว และการโยนเหรียญครั้งต่อไปก็จะออกหัวเช่นกัน ก็จะเป็นการออกหัวต่อกันถึง 5 ครั้ง เนื่องจากว่า ความน่าจะเป็นของการออกหัว 5 ครั้งต่อกันมีค่าแค่ 1/32 (1 ใน 32) ผู้เสี่ยงต่อเหตุผลวิบัติของนักการพนันอาจจะเชื่อว่า การโยนเหรียญครั้งต่อไปมีโอกาสจะออกหัวน้อยกว่าออกก้อย แต่จริง ๆ แล้ว ความคิดนี้ไม่ถูก และเป็นลักษณะปรากฏของเหตุผลวิบัตินี้ คือความจริงแล้ว การออกหัว 5 ครั้งต่อกัน หรือว่าการออกหัว 4 ครั้งและออกก้อยต่อมา มีความน่าจะเป็นเท่า ๆ กัน คือมีค่าที่ 1/32 ถ้าออกหัวมาแล้ว 4 ครั้ง ความน่าจะเป็นของการออกหัวในครั้งต่อไปก็คือ

${\displaystyle \Pr \left(A_{5}|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)=\Pr \left(A_{5}\right)={\frac {1}{2}}}$ .

แม้ว่า การออกหัว 5 ครั้งต่อกันมีความน่าจะเป็นเพียง 1/32 = 0.03125 แต่ว่า นั่นเป็นค่าความน่าจะเป็นก่อนที่จะมีการโยนเหรียญครั้งแรก แต่หลังจากที่มีการโยนเหรียญมา 4 ครั้งแล้ว ผลที่ได้ก็เป็นสิ่งที่รู้แล้วเกิดขึ้นแล้ว จึงมีความน่าจะเป็นคือ 1 ให้สังเกตว่า การคิดโดยเหตุผลที่ไม่ตรงกับความจริงว่า มีโอกาสที่การโยนเหรียญครั้งต่อไปจะออกก้อยมากกว่าจะออกหัวโดยอาศัยเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้ว เท่ากับบ่งว่า เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแล้วในอดีตจะมีอิทธิพลต่อความน่าจะเป็นของอนาคต นั่นแหละคือเหตุผลวิบัติของนักการพนัน

คำอธิบายอีกอย่างหนึ่ง

เราสามารถเห็นจากวิธีการข้างบนว่า ถ้าเราโยนเหรียญ 21 ครั้ง ความน่าจะเป็นของการออกหัวทุกครั้งจะเป็น 1 ใน 2,097,152 แต่จริง ๆ แล้ว ความน่าจะเป็นของการออกหัว "หลังจากการโยนเหรียญที่ออกหัวต่อ ๆ กันถึง 20 ครั้ง" ก็ยังเป็นเพียงแค่ 1/2 นี่เป็นการประยุกต์ใช้ Bayes' theorem

ความจริงนี้สามารถเห็นได้โดยไม่ต้องรู้ว่า มีการออกหัว 20 ครั้งต่อ ๆ กันจริง ๆ (คือไม่ต้องประยุกต์ใช้ Bayes' theorem) ลองพิจารณาถึงความน่าจะเป็นสองอย่างนี้คือ

• ความน่าจะเป็นของการออกหัว 20 ครั้ง แล้วออกก้อย = 0.5²⁰ × 0.5 = 0.5²¹
• ความน่าจะเป็นของการออกหัว 20 ครั้ง แล้วออกหัว = 0.5²⁰ × 0.5 = 0.5²¹

ซึ่งก็คือ ความน่าจะเป็นทั้งสองมีค่าเท่ากันที่ 1 ใน 2,097,152 ดังนั้น จึงเป็นไปได้เท่า ๆ กันที่จะออกหัว 21 ครั้ง หรือออกหัว 20 ครั้งแล้วออกก้อย 1 ครั้ง ในการโยนเหรียญสมดุล 21 ครั้ง ยิ่งไปกว่านั้น นี่เป็นค่าความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญ 21 ครั้งที่ได้ผลหัวก้อยอย่างอื่น ๆ ทั้งหมด (มีผลที่เป็นไปได้ 2,097,152 รูปแบบ) จากข้อสังเกตเช่นนี้ ไม่มีเหตุผลที่จะเชื่อว่า โชค (หรือความน่าจะเป็น) จะเปลี่ยนไปเนื่องจากผลที่เกิดขึ้นในครั้งก่อน ๆ เพราะว่า ไม่ว่าเราจะเห็นผลที่เกิดขึ้นในอดีตก็ดี ไม่เห็นก็ดี ความน่าจะเป็นของการออกหัวก้อยครั้งต่อไปก็ยังเท่า ๆ กันอยู่ ถ้าเป็นเหรียญสมดุล ดังนั้น เหมือนกับที่ Bayes' theorem แสดงให้เห็นแล้ว ผลของการโยนเหรียญแต่ละครั้งก็คือค่าความน่าจะเป็นพื้นฐานของการโยนเหรียญสมดุล ซึ่งก็คือ 1/2 นั่นเอง

ตัวอย่างอื่น ๆ

ในประเทศที่ผู้เล่นลอตเตอรี่สามารถเลือกเบอร์เองได้ ผู้เล่นบางท่านจะเลือกเลขเดียวกันทุก ๆ ครั้ง หรือว่า จงใจเลือกเบอร์ใดเบอร์หนึ่ง แต่ความจริงแล้ว เลขทั้งสองมีโอกาสเท่ากันในการถูกรางวัลของการจับรางวัลแต่ละครั้ง นอกจากนั้นแล้วก็ยังมีการเลือกเอาเบอร์ที่ถูกมาก่อนแล้ว ซึ่งจริง ๆ ก็ยังมีโอกาสถูกเท่ากับเบอร์อื่น ๆ อีกเหมือนกัน ฉะนั้น ถ้าจะเลือกเบอร์ให้สมเหตุผลแล้ว ควรจะเลือกเบอร์ที่ไม่ตรงกับที่ผู้อื่นเลือก เช่นเบอร์ที่ต่ำ (ต่ำกว่า 31 หรือยิ่งกว่านั้นต่ำกว่า 12) มักจะเป็นที่นิยมเพราะคนมักจะเลือกวันเกิดเป็น "เลขนำโชค" ของตน ดังนั้น ถ้าเลขเหล่านั้นถูกรางวัลจริง ๆ คนที่เลือกเลขเดียวกันก็จะต้องแบ่งรางวัลโดยได้เท่า ๆ กัน

มีเรื่องตลกที่นักคณิตศาสตร์เล่าเพื่อแสดงเหตุผลวิบัตินี้ คือ มีชายคนหนึ่งขึ้นเครื่องบินโดยพกระเบิดมาด้วยทุกครั้ง เขาคิดว่า "โอกาสที่จะมีคนเอาระเบิดมาขึ้นเครื่องบินมีน้อยมาก ดังนั้น โอกาสที่จะมีคน 2 คนเอาระเบิดมาขึ้นเครื่องบินแทบจะไม่มีเลย" มีหนังสือนิยายเรื่องหนึ่งที่พระเอกในเรื่องตัดสินใจจะซื้อบ้านหลังจากมีเครื่องบินลำเล็กตกลงใส่บ้าน โดยคิดว่า โอกาสที่จะมีเครื่องบินอีกลำหนึ่งตกใส่บ้านหลังนั้นลดลงแทบจะเกือบศูนย์

เหตุผลวิบัติในด้านตรงข้าม

ถ้าเกิดการออกก้อยบ่อย ๆ นักการพนันอาจจะคิดว่า มีเรื่องเหนือธรรมชาติอะไรอย่างใดอย่างหนึ่งเช่นโชคหรือพรหมลิขิต ที่ทำให้ออกก้อยบ่อย ๆ จึงไม่เห็นเหตุผลที่จะไปแทงหัว นี่เป็นเหตุผลวิบัติเพราะเชื่อว่า โลกเหมือนกับจะเก็บความจำอะไรบางอย่าง เกี่ยวกับสิ่งที่เกิดในอดีต ที่สามารถเปลี่ยนแปลงเหตุการณ์ที่จะเกิดในอนาคต แต่ว่า จะไม่เป็นเหตุผลวิบัติถ้าคิดเป็นเหตุผลว่า ความโน้มน้าวไปทางใดทางหนึ่ง (เช่นในการออกก้อย) เป็นหลักฐานว่า เหรียญนี้ไม่สมดุล

เหตุผลวิบัติอีกอย่างหนึ่งที่มีบัญญัติชื่อว่า inverse gambler's fallacy (เหตุผลวิบัติผกผันของนักการพนัน) หมายถึงเหตุการณ์ที่นักการพนันเห็นคนโยนลูกเต๋า 2 ลูกได้ 6 แต้มทั้งสองลูก แล้วสรุปอย่างผิด ๆ ว่า คน ๆ นี้ต้องโยนลูกเต๋ามาเป็นเวลานานแล้ว เพราะว่า มีโอกาสน้อยที่จะโยนได้ 6 แต้มทั้งสองลูก ในการโยนครั้งแรก ๆ

ข้อควรระวัง

ในการกล่าวถึงเหตุผลวิบัติของนักการพนัน จะต้องสมมุติว่าเหรียญนั้นสมดุล แต่ในโลกจริง ๆ ข้อสมมุตินี้อาจจะไม่ตรงกับความจริง

ดังนั้น ถ้าเราโยนเหรียญสมดุล 21 ครั้ง ความน่าจะเป็นของการออกหัวต่อกับ 21 ครั้งก็จะเป็น 1 ใน 2,097,152 (ดังที่กล่าวมาก่อนแล้ว) และถ้าเหรียญนั้นสมดุลจริง ๆ ความน่าจะเป็นของการออกหัวในการโยนครั้งต่อไปก็จะเป็น 1/2 แต่ว่า ถ้าเราไม่รู้ความน่าจะเป็นจริง ๆ ของการออกหัวก้อย ก็อาจเป็นไปได้ว่า มีอิทธิพลอะไรบางอย่างที่ทำให้เหรียญออกหัวต่อ ๆ กัน เช่นอาจจะมีการบังคับด้วยแม่เหล็กเป็นต้น ในกรณีนี้ หลักฐานแสดงว่า มีความเอนเอียงที่เหรียญนี้จะออกหัว คัดค้านข้อสมมุติทั่ว ๆ ไปว่าเหรียญมีความสมดุล ดังนั้น การแทงหัวก็จะเป็นสิ่งที่สมควร

การคลอดลูก

ตัวอย่างของเหตุผลวิบัติของนักการพนันในเรื่องของการคลอดลูก เห็นได้เริ่มตั้งแต่ ค.ศ. 1796 คือปีแยร์-ซีมง ลาปลัสได้เขียนวิธีที่คุณพ่อคำนวณความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกชายไว้ว่า

ผมได้เห็นชายที่อยากจะได้ลูกชายมาก ผู้จะรับข่าวอย่างวิตกกังวลเกี่ยวกับการเกิดของเด็กชายในเดือนที่ตนเองคาดว่า จะเป็นคุณพ่อ

โดยจินตนาการว่า อัตราส่วนการเกิดของเด็กผู้ชาย ควรจะเท่ากับของเด็กผู้หญิงโดยสิ้นเดือน (คือ) ได้ตัดสินว่า เด็กชายที่เกิดแล้ว จะทำให้ความน่าจะเป็นของการเกิดของเด็กหญิงต่อ ๆ ไปเพิ่มขึ้น— จาก A Philosophical Essay on Probabilities

ซึ่งโดยย่อก็คือ คุณพ่อในอนาคตกลัวว่า ถ้ามีทารกชายเกิดขึ้นในชุมชนรอบ ๆ ก็จะทำให้ตนมีโอกาสที่จะได้ลูกสาวเพิ่มขึ้น

ส่วนอนาคตคุณพ่อคุณแม่บางพวกเชื่อว่า หลังจากที่มีลูกเพศเดียวกันมาหลายคนแล้ว ก็จะถึงกำหนดที่จะมีลูกเพศตรงกันข้ามบ้าง แม้ว่าจะมีทฤษฎี (Trivers-Willard hypothesis) ที่พยากรณ์ว่า เพศของเด็กที่เกิด ขึ้นอยู่กับสภาพความเป็นอยู่ (คือเด็กชายจะเกิดในสภาพความเป็นอยู่ที่ดีมากกว่า และเด็กหญิงจะเกิดในสภาพความเป็นอยู่ที่ไม่ดีมากกว่า) แต่นักวิทยาศาสตร์โดยทั่ว ๆ ไปยังพิจารณาความน่าจะเป็นของเพศเด็กที่เกิดว่า เกือบจะเท่ากัน

ตัวอย่างที่มอนตีคาร์โล

ตัวอย่างที่มีชื่อเสียงที่สุดของเหตุผลวิบัตินักการพนัน เกิดขึ้นในการเล่นรูเล็ตต์ ที่กาสิโนมอนตีคาร์โลในประเทศโมนาโก เมื่อวันที่ 18 สิงหาคม พ.ศ. 2456 เมื่อลูกรูเล็ตต์ตกลงในช่องดำถึง 26 ครั้งต่อ ๆ กัน ซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่ "ไม่สามัญอย่างยิ่ง" แม้ว่า จริง ๆ แล้ว ก็สามัญเท่ากับลำดับการตกลงช่องต่าง ๆ กัน 26 ครั้งที่มีถึง 67,108,863 รูปแบบอื่น ๆ ในเหตุการณ์นี้ นักการพนันเสียทรัพย์เป็นล้าน ๆ ฟรังก์ (รูปแบบเงินของประเทศฝรั่งเศสในเวลานั้น) โดยแทงตรงข้ามกับสีดำ โดยมีเหตุผลที่ผิดพลาดว่า ลำดับตกช่องดำที่เกิดต่อ ๆ กันแล้วนั้นก่อ "ความไม่สมดุล" ให้กับล้อรูเล็ตต์ เพราะฉะนั้น จะต้องมีลำดับตกช่องแดงต่อ ๆ มา

ตัวอย่างเทียม

มีสถานการณ์หลายรูปแบบที่เหตุผลวิบัติของนักการพนันดูเหมือนจะเป็นเรื่องตรงประเด็น แต่ว่าจริง ๆ แล้วไม่ตรง ตัวอย่างแรกก็คือ ในการตรวจดูกระแสข้อมูลบิตสุ่ม การพบบิต 110 จะเร็วกว่าการพบ 111

 

เพื่อที่จะทำความเข้าใจ ดูแผนภาพสถานะสองแผนตามไปด้วย (ซ้ายสำหรับบิต-111 ขวาสำหรับบิต-110) ถ้าพบ 11 แล้ว (วงที่สาม) การได้ 1 หรือ 0 ต่อจากนั้นมีความน่าจะเป็นเท่า ๆ กัน แต่ถ้า 0 เป็นบิตต่อมา บิต-111 จะต้องรอ 1 อีก 3 ตัวจึงจะจบ แต่ถ้า 1 เป็นบิตต่อมา บิต-110 จะต้องรอ 0 อีกตัวเดียวจึงจะจบ

ดังนั้น แม้ว่าเหตุการณ์สุ่มในอดีตจะไม่สามารถกำหนดเหตุการณ์สุ่มในอนาคต ลำดับการเกิดขึ้นบางอย่างอาจจะพบได้เร็วกว่าลำดับอื่น ๆ ตัวอย่างนี้ให้ความเข้าใจว่า ทำไมลำดับที่มีรูปแบบยิ่งกว่า (เช่น 111) มีโอกาสเกิดขึ้นน้อยกว่าในสายอักขระที่ยาวแต่มีกำหนด (คือไม่ใช่สายที่ไม่มีที่สิ้นสุด) และทำไมในเหรียญสมดุลที่ออกหัว (ห) และก้อย (ก) เท่า ๆ กัน "โดยตรงกับประสบการณ์ของเรา การเกิดขึ้นของ หหหก มีความน่าจะเป็นมากกว่า หหหห (แต่ว่าจะไม่มากกว่าถ้าเห็น หหห แล้ว)"

นอกจากนั้นแล้ว เหตุผลวิบัติของนักการพนันประยุกต์ใช้ไม่ได้เมื่อความน่าจะเป็นของเหตุการณ์แต่ละอย่างไม่มีความอิสระทางสถิติจากกันและกัน ซึ่งก็คือ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ในอนาคตอาจเปลี่ยนไปได้ขึ้นอยู่กับว่ามีอะไรเกิดขึ้นในอดีต (ดู การเรียงสับเปลี่ยน) โดยรูปนัยแล้ว จะมีการบ่งระบบเช่นนี้ว่า "มีความจำ" ตัวอย่างง่าย ๆ อย่างหนึ่งก็คือ ไพ่ที่จั่วออกจากสำรับไพ่โดยไม่ได้เติมแทนให้เต็ม เช่น ถ้ามีการจั่วเอซออกจากสำรับโดยไม่ได้คืน การจั่วครั้งต่อไปมีโอกาสที่จะได้เอซน้อยกว่าที่จะได้ไพ่เบอร์อื่น ๆ คือ ถ้าสมมติว่า เป็นไพ่ใบแรกที่จั่ว และไม่มีไพ่โจ๊ก ความน่าจะเป็นที่จะจั่วได้เอซ จะลดลงจาก 4/52 (7.69%) ไปยัง 3/51 (5.88%) ในขณะที่ความน่าจะเป็นในการจั่วได้ไพ่เบอร์อื่น ๆ จะเพิ่มจาก 4/52 (7.69%) เป็น 4/51 (7.84%) นี่เป็นปรากฏการณ์ที่สามารถทำให้นับไพ่ (เพื่อใช้ในการคำนวณความน่าจะเป็น) ในการเล่นไพ่บางอย่างได้ (เช่น 21)

ตัวอย่างเทียม: เมื่อไม่ทราบความน่าจะเป็น

ถ้าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นซ้ำกันเป็นเรื่องที่ไม่ทราบ ผลที่เป็นไปได้ทุก ๆ อย่างอาจมีโอกาสเกิดขึ้นไม่เท่ากัน เช่นในกรณีที่โยนเหรียญ ถ้าการออกหัวยิ่งติดต่อกันนานเท่าไร ความเป็นไปได้ว่าเหรียญนั้นมีความเอนเอียงที่จะออกหัวก็เพิ่มขึ้นเท่านั้น ถ้าเราโยนเหรียญ 21 ครั้งแล้วออกหัวทั้ง 21 ครั้ง เราก็สามารถจะสรุปได้อย่างสมเหตุสมผลว่า มีความน่าจะเป็นระดับสูงที่เหรียญนี้เอนเอียงไปในการออกหัว และดังนั้นก็จะสรุปได้ว่า การโยนเหรียญครั้ง ๆ ต่อไปมีโอกาสสูงที่จะออกหัวอีกเช่นกัน จริงอย่างนั้น เมื่อไม่รู้อัตราส่วนของผลที่จะเกิดขึ้น ในลำดับเหตุการณ์ (เช่นการโยนเหรียญ) ในระยะยาว แต่ถ้าสามารถอนุมานใช้ Bayesian inference โดยแสดงว่า ความเอนเอียงที่จะเกิดขึ้นมีโอกาสเท่า ๆ กันที่จะเป็นไปทางด้านไหนก็ได้ และแสดงว่า ผลที่ปรากฏในเหตุการณ์ครั้งก่อน ๆ ได้แสดงด้านที่น่าจะมีความเอนเอียง ดังนั้น ผลที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นมากที่สุดก็คือค่าสังเกตในข้อมูลที่เกิดขึ้นแล้วบ่อยที่สุด

การทำงานของจิตที่เป็นฐานของเหตุผลวิบัติ

แหล่งกำเนิด

เหตุผลวิบัติเกิดขึ้นจากการวางนัยทั่วไปเร็วเกินไป ซึ่งก็คือความเชื่อที่ผิดพลาดว่า ตัวอย่างที่มีน้อยสามารถเป็นตัวแทนของประชากรกลุ่มที่ใหญ่กว่าได้ คือ ตามเหตุผลวิบัตินี้ ลำดับการเกิดเหตุการณ์ที่เกิดช้ำต่อ ๆ กันจะต้องเปลี่ยนไปอีกด้าน เพื่อที่จะมีลักษณะเป็นตัวแทนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยรวม ๆ ได้ ในปี ค.ศ. 1971 อะมอส ทเวอร์สกี้ และแดเนียล คาฮ์นะมัน เสนอเป็นครั้งแรกว่า เหตุผลวิบัติของนักการพนันเป็นความเอนเอียงทางประชานที่เกิดขึ้นจากฮิวริสติกที่เรียกว่า representativeness heuristic (ฮิวริสติกโดยความเป็นตัวแทน) ซึ่งเป็นทฤษฎีที่เสนอว่า เราประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างโดยประเมินว่าเหมือนกับเหตุการณ์ที่เคยประสบมาก่อนแค่ไหน

โดยมุมมองนี้ "หลังจากที่ลูกรูเล็ตต์ตกลงในช่องแดงในล้อรูเล็ตต์ต่อ ๆ กันเป็นลำดับยาว... คนโดยมากเชื่ออย่างผิด ๆ ว่า การตกลงในหลุมดำต่อไปจะทำให้เป็นลำดับที่เป็นตัวแทน (ของเหตุการณ์สุ่ม) ที่ดีกว่าการตกลงในหลุมแดง" ดังนั้น มนุษย์จะหวังว่า ผลสุ่มในลำดับที่สั้น ๆ ควรจะมีลักษณะที่คล้าย ๆ กันกับลำดับที่ยาว ๆ ซึ่งก็คือ ความต่างออกไปจากลักษณะเฉลี่ย ควรที่จะมีการปรับให้สมดุล

เมื่อมีการให้ผู้ร่วมการทดลองสร้างลำดับที่คล้ายกับลำดับสุ่มของการโยนเหรียญ ผู้ร่วมการทดลองมักจะทำลำดับที่อัตราส่วนของการออกหัวและก้อยใกล้กับค่า 0.5 ในลำดับสั้น ๆ กว่าที่จะปรากฏในลำดับสุ่มจริง ๆ (ซึ่งเป็นความเอนเอียงที่เรียกว่า ความด้านต่อขนาดตัวอย่าง หรือ insensitivity to sample size) คาฮ์นะมันและทเวอร์สกี้ตีความปรากฏการณ์เช่นนี้ว่า เราเชื่อว่าลำดับสั้น ๆ ของเหตุการณ์สุ่มควรจะเหมือนกับลำดับยาว ๆ มีการใช้ฮิวริสติกโดยความเป็นตัวแทนเป็นคำอธิบายต่อปรากฏการณ์ที่คล้าย ๆ กันคือ การแปลการจับกลุ่มผิด (clustering illusion) ที่เราเห็นลำดับต่อ ๆ กันของเหตุการณ์สุ่มว่าไม่ใช่เกิดจากความสุ่ม ทั้ง ๆ ที่ความจริงแล้ว ลำดับที่มีลักษณะอย่างนั้น มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นเมื่อมีขนาดตัวอย่างที่น้อย มากกว่าที่เราคาดคิด

ความเอนเอียงของนักการพนันอาจจะเป็นเหตุของความเชื่อผิด ๆ ว่า การพนัน (หรือแม้แต่ความสุ่มเอง) เป็นกระบวนการที่ยุติธรรมสม่ำเสมอ ที่จะเกิดการปรับคืนเมื่อมีลำดับซ้ำต่อ ๆ กัน ซึ่งเป็นความเชื่อที่เรียกว่า สมมุติฐานโลกยุติธรรม (just-world hypothesis) มีนักวิชาการอื่น ๆ ที่เชื่อว่า บุคคลที่มีโลคัสควบคุมภายใน (internal locus of control) ซึ่งก็คือผู้ที่เชื่อว่าผลการพนันเป็นผลจากทักษะความสามารถของตน จะมีโอกาสเสี่ยงต่อความเอนเอียงของนักการพนันมากกว่า เพราะว่า คนเหล่านั้นจะปฏิเสธไอเดียว่า การเกิดโดยสุ่มสามารถเอาชัยต่อทักษะความสามารถหรือพรสวรรค์ได้

แบบอื่น ๆ

นักวิชาการบางพวกเชื่อว่า ความเอนเอียงนี้แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ แบบ 1 และ แบบ 2 แบบหนึ่งเป็นแบบคลาสสิก เมื่อบุคคลเชื่อว่า ผลบางอย่างถึงกำหนดที่จะเกิดขึ้นหลังจากมีลำดับการเกิดซ้ำ ๆ ต่อ ๆ กันของผลอย่างอื่น แบบที่สองได้รับการกำหนดจากนักวิชาการอีกลุ่มหนึ่ง (Gideon Keren and Charles Lewis) ที่เกิดขึ้นเมื่อนักการพนันประเมินจำนวนการสังเกตการณ์ที่จำเป็นต้องมี เพื่อที่จะตรวจจับผลที่มีอัตราการเกิดสูงกว่าได้ (เช่น การสังเกตล้อรูเล็ตต์เป็นระยะเวลาหนึ่ง แล้วตัดสินเบอร์หลุมที่ลูกรูเล็ตต์ตกลงบ่อยที่สุด) คือ การจะตรวจจับความเอนเอียงที่ทำให้เกิดผลที่มีอัตราเกิดสูงกว่าได้จริง ๆ จะต้องอาศัยการสังเกตเหตุการณ์เป็นจำนวนมากกว่าที่ปกติจะทำกันได้ เป็นเรื่องที่ทำได้ยากถ้าจะทำได้จริง ๆ ดังนั้น เราจึงตกเป็นเหยื่อของความเอนเอียงประเภทที่ 2 ความแตกต่างระหว่างสองแบบของความเอนเอียงก็คือ แบบแรกมีข้อสมมุติที่ผิด ๆ ว่า สถานการณ์และกระบวนการต่าง ๆ เป็นไปอย่างยุติธรรมและสมบูรณ์ ในขณะที่แบบสองมีข้อสมมุติว่า ถ้ามีผลที่มีความเอนเอียง ความเอนเอียงนี้จะสามารถตรวจจับได้ภายในชั่วระยะเวลา (สั้นเกินความจริง) หนึ่ง

ในอีกรูปแบบหนึ่งที่เรียกว่า เหตุผลวิบัติย้อนหลังของนักการพนัน (retrospective gambler's fallacy) เกิดขึ้น เมื่อเราตัดสินว่า เหตุการณ์หนึ่งที่ดูเหมือนกับจะเกิดไม่บ่อย ต้องเกิดขึ้นในลำดับเหตุการณ์ที่ยาวนานกว่าเหตุการณ์ที่ดูเหมือนจะสามัญกว่า ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเห็นการโยนลูกเต๋า 3 ลูกได้ 6 แต้มทั้งสามลูก เราจะเชื่อว่า การโยนลูกเต๋าต่อ ๆ กันต้องเป็นไปแล้วยาวนานถึง 3 เท่ากว่าถ้าเห็นลูกเต๋าโยนได้ 6 แต้มสองลูก ปรากฏการณ์นี้จะพบได้ทั้งเมื่อมีการสังเกตการณ์เป็นครั้ง ๆ หรือแม้เป็นลำดับ ตัวอย่างจริง ๆ ก็คือว่า เมื่อเด็กวัยรุ่นเกิดตั้งครรภ์เพราะมีเพศสัมพันธ์ที่ไม่ได้ป้องกัน เรามักจะมีข้อสมมติว่า เธอได้มีเพศสัมพันธ์ที่ไม่ได้ป้องกัน มายาวนานกว่าผู้ที่มีเพศสัมพันธ์ที่ไม่ได้ป้องกันแต่ยังไม่ตั้งครรภ์

ความสัมพันธ์กับ hot-hand fallacy

ส่วนอีกมุมมองหนึ่งทางจิตวิทยาเสนอว่า เหตุผลวิบัตินี้สามารถเห็นเป็นคู่ของความเห็นวิบัติโดยมือขึ้น (hot-hand fallacy) ที่พบในกีฬาบาสเกตบอล ที่ผู้ชมมักจะพยากรณ์ผลตามเหตุการณ์สุดท้ายที่เกิดขึ้น (positive recency) คือ นักกีฬาหรือทีมที่พึ่งได้แต้ม ก็จะได้แต้มต่อไป แต่ในเหตุผลวิบัติของนักการพนัน เราพยากรณ์ผลตรงข้ามกับเหตุการณ์สุดท้าย (negative recency) เช่น เพราะลูกรูเล็ตต์ได้ตกลงในช่องดำ 6 ครั้งสุดท้าย มันถึงกำหนดที่จะตกลงในช่องแดงต่อ ๆ ไป นักวิชาการกลุ่มหนึ่งตั้งสมมติฐานว่า เราพยากรณ์ผลบวกตามเหตุการณ์สุดท้ายเนื่องกับเหตุผลวิบัติโดยมือขึ้น ก็เพราะว่า เป็นเรื่องเกี่ยวกับสมรรถภาพของมนุษย์ ในขณะเดียวกัน เราไม่เชื่อว่าสิ่งไม่มีชีวิตจะเกิดความ "ขึ้น" ได้ ดังนั้นจึงพยากรณ์ผลตรงข้ามเหตุการณ์สุดท้ายเนื่องกับเหตุผลวิบัติของนักการพนัน คือ เราไม่รู้สึกว่า สมรรถภาพมนุษย์เป็นเรื่องสุ่ม ดังนั้น เราจึงคิดว่า มนุษย์จะทำให้เกิดลำดับซ้ำ ๆ เพราะเราเชื่อว่า กระบวนการที่ทำให้เกิดผลไม่ใช่เป็นเรื่องสุ่ม แต่ว่า นักวิชาการพบว่า เมื่อเรามีเหตุผลวิบัติของนักการพนัน ปรากฏกว่า เรามีโอกาสมากกว่าที่จะมีเหตุผลวิบัติโดยมือขึ้นด้วย ซึ่งบอกเป็นนัยว่า กระบวนการจิตวิทยาอันเดียวกัน เป็นแหล่งกำเนิดของเหตุผลวิบัติทั้งสองอย่าง

ความแตกต่างระหว่างเหตุผลวิบัติทั้งสองก็พบด้วยในการตัดสินใจทางเศรษฐกิจ มีงานวิจัยในปี ค.ศ. 2010 ที่ตรวจสอบเหตุผลวิบัติทั้งสองโดยออกแบบการทดลองเลียนแบบตลาดการเงิน มีการให้ผู้ร่วมการทดลองทางเลือกสามทาง คือให้แทงผลของการโยนเหรียญตามลำดับเอง ให้แทงโดยใช้ความเห็นของ "ผู้เชี่ยวชาญ" ที่มีประวัติสุ่ม หรือให้เลือกเอาการลงทุนที่ไร้ความเสี่ยงแต่ได้ผลกำไรที่น้อยกว่า มีผู้ร่วมการทดลอง 24% ที่เลือกใช้ความเห็นของผู้เชี่ยวชาญ โดยเลือกผู้เชี่ยวชาญที่มีประวัติความสำเร็จที่มือกำลังขึ้น ถ้าผู้เชี่ยวชาญให้คำแนะนำถูก 78% ของผู้ร่วมการทดลองจะเลือกใช้ความเห็นผู้เชี่ยวชาญอีก เทียบกับ 57% ถ้าผู้เชี่ยวชาญให้คำแนะนำผิด ในการทดลองนี้ ผู้ร่วมการทดลองปรากฏเหตุผลวิบัติของนักการพนันด้วย คือการเลือกไม่ว่าจะเป็นหัวหรือก้อย จะลดลง ถ้าสังเกตเห็นการเกิดซ้ำ ๆ กันของผลเช่นนั้น ผลการทดลองนี้สนับสนุนทฤษฎีว่า มนุษย์ให้น้ำหนักกับสมรรถภาพมนุษย์ มากกว่าให้กับกระบวนการที่เป็นไปโดยสุ่ม (ทั้ง ๆ ที่จริง ๆ แล้วได้ผลสุ่มเหมือนกัน)

สรีรภาพทางประสาท

แม้ว่า นักจิตวิทยาจะถือเอาว่า representativeness heuristic และความเอนเอียงทางประชานประเภทอื่น ๆ เป็นเหตุของเหตุผลวิบัติของนักการพนันบ่อยครั้งที่สุด แต่ก็มีงานวิจัยที่เสนอว่า มีองค์ประกอบทางประสาทที่เป็นเหตุด้วย คือมีการพบโดยใช้การสร้างภาพสมองโดย fMRI ว่า หลังจากเสียการพนัน เครือข่ายประสาทในกลีบขมับด้านหน้า (frontoparietal network) จะเกิดการทำงาน ซึ่งทำให้เกิดพฤติกรรมที่เสี่ยงยิ่งขึ้น และมีการทำงานที่ลดระดับลงในอะมิกดะลา, caudate nucleus และ ventral striatum (ซึ่งเป็นส่วนของ ฺbasal ganglia) แต่การทำงานของอะมิกดะลานั้นมีสหสัมพันธ์เชิงลบกับเหตุผลวิบัติของนักการพนัน คือยิ่งมีการทำงานเพิ่มขึ้นเท่าไร บุคคลนั้นมีโอกาสที่จะตกเป็นเหยื่อของเหตุผลวิบัติน้อยลงเท่านั้น ผลการทดลองบอกเป็นนัยว่า เหตุผลวิบัตินี้อาศัยการทำงานของคอร์เทกซ์กลีบหน้าผากส่วนหน้า (prefrontal cortex) มากกว่า เป็นเขตซึ่งมีหน้าที่เกี่ยวกับ executive functions และกระบวนการมีจุดมุ่งหมาย (goal-directed processes) และอาศัยเขตสมองที่ควบคุมการตัดสินใจทางอารมณ์ (มีอะมิกดะลาเป็นต้น) น้อยกว่า

ความต้องการที่จะเล่นพนันต่อไปมีการควบคุมโดยเขตสมอง striatum (ซึ่งเป็นส่วนของ basal ganglia) ซึ่งมีหน้าที่อุปถัมภ์การเรียนรู้แบบขึ้นอยู่กับการเลือกกระทำและผลที่ได้ (choice-outcome contingency learning) คือ striatum จะประมวลความผิดพลาดของการพยากรณ์ และจะทำให้เกิดการเปลี่ยนพฤติกรรม หลังจากการชนะ พฤติกรรมจะเกิดการเสริมกำลัง และหลังจากการแพ้ พฤติกรรมจะมีการปรับภาวะให้มีการหลีกเลี่ยง ในบุคคลที่ปรากฏเหตุผลวิบัติของนักการพนัน ระบบการเรียนรู้แบบนี้จะมีความเสียหาย และผู้เล่นจะมีพฤติกรรมเสี่ยงต่อ ๆ ไปแม้ว่าจะแพ้ต่อ ๆ กันมาเป็นลำดับแล้ว

การแก้ปัญหา

เนื่องจากเหตุผลวิบัตินี้เป็นความเอนเอียงทางประชานที่ฝังแน่น ดังนั้นการกำจัดจึงเป็นเรื่องยากมาก โดยทั่วไปแล้ว การให้ข้อมูลเกี่ยวกับธรรมชาติของเหตุการณ์สุ่ม ไม่มีผลต่อการลดกำลังหรือกำจัดความเอนเอียงนี้ ในงานวิจัยยุคต้น ๆ ในปี ค.ศ. 1967 มีการใช้ไพ่สับที่แสดงรูปร่างเพื่อให้ผู้ร่วมการทดลองเดาว่า จะจั่วได้รูปไหนในลำดับต่อไป มีการให้ข้อมูลกับกลุ่มทดลองเกี่ยวกับธรรมชาติและความเกิดขึ้นของเหตุผลวิบัติของนักการพนัน และมีการบอกไม่ให้พึ่งลำดับที่ผ่านมาแล้ว ในการเดารูปร่างที่จะจั่วได้ ส่วนกลุ่มควบคุมไม่ได้รับข้อมูลนี้ ถึงกระนั้น สไตล์การเดาของกลุ่มทั้งสองนั้นคล้ายกัน ซึ่งบ่งว่ากลุ่มทดลองก็ยังเลือกอาศัยลำดับที่ผ่านมาแล้ว จึงปรากฏชัดว่า การให้ข้อมูลเรื่องเหตุการณ์สุ่ม ไม่เพียงพอในการลดระดับเหตุผลวิบัติของนักการพนัน

ความเสี่ยงต่อเหตุผลวิบัติของนักการพนันดูเหมือนจะลดลงตามอายุ ในปี ค.ศ. 1997 มีการให้คน 5 กลุ่มตอบคำถาม คือนักเรียน ป.5 ม.1 ม.3 ม.5 และนักศึกษามหาวิทยาลัยที่ศึกษาเพื่อเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ ผู้ร่วมการทดลองทั้ง 5 กลุ่มไม่เคยเรียนรู้เกี่ยวกับเรื่องความน่าจะเป็นมาก่อน คำถามคือ "รอนนี่โยนเหรียญ 3 ครั้งและออกหัวทั้ง 3 ครั้ง รอนนี่ตั้งใจจะโยนเหรียญอีก มีโอกาสเท่าไรที่จะออกหัวเป็นครั้งที่ 4" ผลแสดงว่า เมื่อนักเรียนเจริญวัยขึ้น มีโอกาสน้อยลงที่จะให้คำตอบว่า "น้อยกว่าโอกาสที่จะออกก้อย" ซึ่งเป็นคำตอบผิดที่แสดงความเอนเอียงนี้ 35% ของนักเรียน ป.5, 35% ของนักเรียน ม.1, และ 20% ของนักเรียน ม.3 ให้คำตอบที่ผิด แต่มี 10% ของนักเรียน ม.5 เท่านั้นที่ให้คำตอบที่ผิด และนักศึกษามหาวิทยาลัยก็ไม่แสดงปรากฏการณ์นี้เลย ดังนั้นนักวิจัยจึงตั้งสมมติฐานว่า แนวโน้มของบุคคลที่จะพึ่ง representativeness heuristic และความเอนเอียงทางประชานอื่น ๆ อาจจะข้ามได้เมื่อเจริญวัยขึ้น

วิธีแก้ปัญหาที่เป็นการป้องกันล่วงหน้าอย่างหนึ่งมาจากแนวคิดของนักจิตวิทยาเกสทอลต์ ผู้เสนอว่า เหตุผลวิบัติอาจจะกำจัดได้โดยการจัดกลุ่ม คือ เมื่อเหตุการณ์หนึ่งในอนาคต (เช่นการโยนเหรียญ) ปรากฏเป็นส่วนหนึ่งตามลำดับ ไม่ว่าจะมีความสุ่มแค่ไหน เราจะพิจารณาเหตุการณ์นั้นว่ามีความสัมพันธ์กับเหตุการณ์ในอดีตโดยอัตโนมัติ ทำให้เกิดเหตุผลวิบัติของนักการพนัน แต่เมื่อเราพิจารณาว่า เหตุการณ์ทุกเหตุการณ์ เป็นอิสระต่อกันและกัน เหตุผลวิบัตินี้จะมีการลดระดับไป ในงานทดลองแนวเกสทอลต์นี้ มีการบอกผู้ร่วมการทดลองว่า จะให้พนันการโยนเหรียญที่แบ่งออกเป็นสองชุด แต่ละชุดมีการโยน 6 ครั้ง หรือมีการโยน 7 ครั้ง การโยนเหรียญครั้งที่ 4 5 และ 6 ล้วนแต่เกิดผลเช่นกัน คือ หัว 3 ครั้ง หรือก้อย 3 ครั้ง ส่วนการโยนเหรียญครั้งที่ 7 มีการจัดกลุ่มเป็นท้ายสุดร่วมกับการโยนเหรียญชุดแรก (สำหรับกลุ่มที่พนันชุดที่มีการโยน 7 ครั้ง) หรือเป็นต้นสุดร่วมกับการโยนเหรียญชุดที่สอง (สำหรับกลุ่มที่พนันชุดที่มีการโยน 6 ครั้ง) ผู้ร่วมการทดลองมีเหตุผลวิบัตินี้ในระดับสูงสุดถ้าการโยนเหรียญครั้งที่ 7 จัดให้อยู่ท้ายสุดของชุดแรก ทันทีหลังจากลำดับของการออกหัวหรือก้อย 3 ครั้งต่อ ๆ กัน นอกจากนั้นแล้ว ยังมีการชี้ให้ผู้ร่วมการทดลองเข้าใจว่า เหตุผลวิบัตินี้ฝังลึกได้ขนาดไหน ผู้ร่วมการทดลองที่ไม่แสดงความเอนเอียงนี้ก็จะมีความมั่นใจน้อยลงในการแทง และทำการแทงน้อยครั้งกว่าผู้ร่วมการทดลองที่ปรากฏเหตุผลวิบัตินี้ แต่ว่า เมื่อการโยนเหรียญครั้งที่ 7 มีการจัดให้อยู่ร่วมกับชุดที่สอง (และดังนั้นผู้ร่วมการทดลองจึงไม่รู้สึกว่า เป็นส่วนของเหตุการณ์ที่เกิดต่อซ้ำ ๆ กัน) เหตุผลวิบัตินี้จะไม่เกิดขึ้น

นักวิจัยจึงเสนอว่า การแก้ปัญหานี้ก็คือ แทนที่จะสอนคนแต่ละคนเกี่ยวกับธรรมชาติของเหตุการณ์สุ่ม ควรจะสอนให้ปฏิบัติต่อเหตุการณ์แต่ละเหตุการณ์ว่าเป็นการเริ่มใหม่ ไม่ใช่เป็นการสืบต่อจากเหตุการณ์ก่อน ๆ นี้จะป้องกันไม่ให้ทำการพนันในเวลาที่กำลังเสียพนัน โดยมีความหวังลม ๆ แล้ง ๆ ว่า โอกาสที่จะชนะของตนใกล้ถึงกำหนดที่จะเพิ่มขึ้น

ดู

• ฮิวริสติกโดยความเข้าถึงได้ง่าย

เชิงอรรถและอ้างอิง

1. Merriam-Webster Collegiate Dictionary, 11th Edition. Springfield, Massachusetts, USA: Merriam-Webster, Inc. 2003. ˌmän-tē-'kär- (ˌ)lō
2. "How random is random on your music player?". BBC News. 2015-02-19.
3. "What happened at Monte Carlo in 1913". Fallacy Files Blog.
4. Gardner, Martin (1986). Entertaining Mathematical Puzzles. Courier Dover Publications. pp. 69–70. ISBN 978-0-486-25211-7.
5. Barron, Greg; Leider, Stephen (2010). "The role of experience in the Gambler's Fallacy". Journal of Behavioral Decision Making. 23 (1): 117–129. doi:10.1002/bdm.676. ISSN 0894-3257.
6. Darling, David (2004). "Roulette". The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. John Wiley & Sons. p. 278. ISBN 978-0-471-27047-8.
7. Hahn, Ulrike; Warren, Paul A. (2009). "Perceptions of Randomness: Why Three Heads Are Better Than Four" (PDF). Psychological Review. American Psychological Association. 116 (2): 454–461. doi:10.1037/a0015241. สืบค้นเมื่อ 2014-08-16.
8. O'Neill, B.; Puza, B.D. (2004). "Dice have no memories but I do: A defence of the reverse gambler's belief". Reprinted in abridged form as: O'Neill, B.; Puza, B.D. (2005). "In defence of the reverse gambler's belief". The Mathematical Scientist. 30 (1): 13–16. ISSN 0312-3685.
9. Burns, Bruce D.; Corpus, Bryan (2004). "Randomness and inductions from streaks: "Gambler's fallacy" versus "hot hand"". Psychonomic Bulletin & Review. 11 (1): 179–184. doi:10.3758/BF03206480. ISSN 1069-9384.
10. Tversky, Amos; Daniel Kahneman (1974). "Judgment under uncertainty: Heuristics and biases". Science. 185 (4157): 1124–1131. doi:10.1126/science.185.4157.1124. PMID 17835457.
11. Tversky, Amos; Daniel Kahneman (1971). "Belief in the law of small numbers". Psychological Bulletin. 76 (2): 105–110. doi:10.1037/h0031322.
12. Tune, G. S. (1964). "Response preferences: A review of some relevant literature". Psychological Bulletin. 61 (4): 286–302. doi:10.1037/h0048618. PMID 14140335.
13. Gilovich, Thomas (1991). How we know what isn't so. New York: The Free Press. pp. 16–19. ISBN 0-02-911706-2.
14. Rogers, Paul (1998). "The cognitive psychology of lottery gambling: A theoretical review". Journal of Gambling Studies. 14 (2): 111–134. doi:10.1023/A:1023042708217. ISSN 1050-5350.
15. Sundali, J.; Croson, R. (2006). "Biases in casino betting: The hot hand and the gambler's fallacy". Judgment and Decision Making. 1: 1–12.
16. Keren, Gideon; Lewis, Charles (1994). "The Two Fallacies of Gamblers: Type I and Type II". Organizational Behavior and Human Decision Processes. 60 (1): 75–89. doi:10.1006/obhd.1994.1075. ISSN 0749-5978.
17. Oppenheimer, D. M.; Monin, B. (2009). "The retrospective gambler's fallacy: Unlikely events, constructing the past, and multiple universes". Judgment and Decision Making. 4: 326–334.
18. Ayton, P.; Fischer, I. (2004). "The hot-hand fallacy and the gambler's fallacy: Two faces of subjective randomness?". Memory and Cognition. 32: 1369–1378. doi:10.3758/bf03206327.
19. Huber, J.; Kirchler, M.; Stockl, T. (2010). "The hot hand belief and the gambler's fallacy in investment decisions under risk". Theory and Decision. 68: 445–462. doi:10.1007/s11238-008-9106-2.
20. Xue, G.; Lu, Z.; Levin, I. P.; Bechara, A. (2011). "An fMRI study of risk-taking following wins and losses: Implications for the gambler's fallacy". Human Brain Mapping. 32: 271–281. doi:10.1002/hbm.21015.
21. Beach, L. R.; Swensson, R. G. (1967). "Instructions about randomness and run dependency in two-choice learning". Journal of Experimental Psychology. 75: 279–282. doi:10.1037/h0024979.
22. Fischbein, E.; Schnarch, D. (1997). "The evolution with age of probabilistic, intuitively based misconceptions". Journal for Research in Mathematics Education. 28: 96–105. doi:10.2307/749665.
23. Roney, C. J.; Trick, L. M. (2003). "Grouping and gambling: A gestalt approach to understanding the gambler's fallacy". Canadian Journal of Experimental Psychology. 57: 69–75. doi:10.1037/h0087414.