ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (อังกฤษ: bijection, bijective function) คือฟังก์ชันf จากเซตX ไปยังเซต Y ด้วยสมบัติที่ว่า จะมีสมาชิกx ใน X เพียงหนึ่งเดียวสำหรับทุก ๆ สมาชิก y ใน Y นั่นคือ f (x) = y และไม่มีสมาชิกเหลือทั้งใน X และ Y
ฟังก์ชัน f จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์ผกผัน f−1 เป็นฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีนี้ f−1 ก็จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงด้วย
กำหนดให้ฟังก์ชัน f : X ↔ Y และ g : Y ↔ Z เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ฟังก์ชันประกอบ g ∘ f ก็จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงด้วย และมีฟังก์ชันผกผันเป็น (g ∘ f) −1 = f−1 ∘ g−1
ในทางตรงข้าม ถ้าหากการประกอบของฟังก์ชันทั้งสอง g ∘ f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เราสามารถสรุปได้เพียงว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและ g เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (ดูภาพ)
ความสัมพันธ์ f จาก X ไป Y จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ก็ต่อเมื่อมีความสัมพันธ์ g จาก Y ไป X อันหนึ่ง ที่ทำให้ g ∘ f เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์บน X และทำให้ f ∘ g เป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์บน Y จึงส่งผลให้ทั้งสองเซตมีจำนวนสมาชิกเท่ากัน
ถ้า X และ Y เป็นเซตจำกัดแล้ว จะมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงระหว่างสองเซตจาก X ไปยัง Y ก็ต่อเมื่อ X และ Y มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน จากภาวะ "จำนวนสมาชิกที่เท่ากัน" นี้เองที่นำไปสู่การนิยามภาวะเชิงการนับของเซตอนันต์ในเรื่องของทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ ซึ่งเป็นแนวทางหนึ่งในการพิจารณาขนาดของเซตอนันต์ที่แตกต่างกัน
ตัวอย่างและการโต้แย้ง
สำหรับเซต X ใด ๆ กำหนดฟังก์ชันเอกลักษณ์ idx จาก X ไปยัง X นิยามโดย idx (x) = x ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
ฟังก์ชัน f บนเส้นจำนวนจริงR ไปยัง R นิยามโดย f (x) = 2x + 1 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เนื่องจากค่า y แต่ละตัวมีค่า x = (y − 1) / 2 เพียงตัวเดียวที่ทำให้ f (x) = y
ฟังก์ชันเลขชี้กำลังg : R → R ซึ่งนิยามโดย g (x) = ex ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะว่าไม่มีค่า x ใดใน R ที่ทำให้ g (x) = −1 ซึ่งแสดงว่า g ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง อย่างไรก็ตาม ถ้าหากเปลี่ยนโคโดเมนจากจำนวนจริงไปเป็นจำนวนจริงบวก R+ = (0, +∞) แล้ว g จะกลายเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงทันที ซึ่งฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติg−1 (x) = ln x
ฟังก์ชัน h : R → [0, +∞) ซึ่งนิยามโดย h (x) = x2 ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะว่า h (−1) = h (+1) = 1 ซึ่งแสดงว่า h ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ถ้าหากเปลี่ยนโดเมนไปเป็น [0, +∞) แล้ว h จะกลายเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงทันที ซึ่งฟังก์ชันผกผันคือฟังก์ชันรากที่สองที่เป็นบวก h−1 (x) = √x
R → R : x ↦ (x − 1) (x) (x + 1) = x3 − x ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะว่าโดเมน −1, 0 และ +1 จับคู่ไปยัง 0 ตัวเดียวกัน
R → [−1, 1] : x ↦ sin x ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง เพราะว่าโดเมน π/3 และ 2π/3 จับคู่ไปยัง √3/2 ตัวเดียวกัน
สมบัติ
ฟังก์ชัน f จากบนเส้นจำนวนจริง R ไป R จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ก็ต่อเมื่อกราฟของฟังก์ชันมีจุดตัดกับเส้นตรงใด ๆ ในแนวนอนหรือแนวตั้งเพียงจุดเดียว
ถ้า X เป็นเซตหนึ่ง ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก X ไปยังเซตตัวเอง ซึ่งเกิดจากการดำเนินการประกอบของฟังก์ชัน จะทำให้เกิดกรุปสมมาตรของ X เขียนแทนได้หลายเช่น S (X), SX หรือ X! (สัญลักษณ์สุดท้ายคือแฟกทอเรียล)
สำหรับเซตย่อย A ซึ่งเป็นโดเมนของ f และมีภาวะเชิงการนับ | A | และเซตย่อย B ซึ่งเป็นโคโดเมนของ f และมีภาวะเชิงการนับ | B | จะได้ความเท่ากันดังต่อไปนี้
| f (A) | = | A | และ | f−1 (B) | = | B |
ถ้า X และ Y เป็นเซตจำกัดที่มีภาวะเชิงการนับเท่ากัน และ f : X → Y ดังนั้นประโยคต่อไปนี้จะมีความหมายเทียบเท่ากัน
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง
f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
f เป็นฟังก์ชันทั่วถึง
สำหรับเซตจำกัด S จะมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงอย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน ระหว่างเซตของอันดับทุกส่วน (total order) ที่เป็นไปได้ของสมาชิก ไปยังฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก S ไปยัง S หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ จำนวนของการเรียงสับเปลี่ยน (อีกชื่อหนึ่งของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง) ของสมาชิกของ S จะเท่ากับจำนวนของอันดับทุกส่วนของเซตนั้น นั่นก็คือ n!
มีนาคม 10, 2022
งก, นหน, งต, อหน, งท, วถ, งกฤษ, bijection, bijective, function, อฟ, งก, จากเซต, ไปย, งเซต, วยสมบ, จะม, สมาช, ใน, เพ, ยงหน, งเด, ยวสำหร, บท, สมาช, ใน, นค, และไม, สมาช, กเหล, อท, งใน, และ, หร, อกล, าวได, กทางหน, งค, จะเป, าหากม, ความส, มพ, นธ, แบบสมน, ยหน, งต, อ. fngkchnhnungtxhnungthwthung xngkvs bijection bijective function khuxfngkchn f cakest X ipyngest Y dwysmbtithiwa camismachik x in X ephiynghnungediywsahrbthuk smachik y in Y nnkhux f x y aelaimmismachikehluxthngin X aela Yfngkchnhnungtxhnungthwthung hruxklawidxikthanghnungkhux f caepnfngkchnhnungtxhnungthwthung thahakmikhwamsmphnthaebbsmnyhnungtxhnung one to one correspondence rahwangestthngsxng nnkhuxepnthngfngkchnhnungtxhnung one to one aelafngkchnthwthung onto yktwxyangfngkchnhnungtxhnungthwthungechn fngkchn succ niyamcakestkhxngcanwnetm Z ipyng Z odymikhwamsmphnthsahrbsmachik x epn succ x x 1 xiktwxyanghnungkhux fngkchn sumdif thismachikkhuxndb x y khxngcanwncring odymismphnthkbkhuxndbepn sumdif x y x y x y epntnfngkchnhnungtxhnungthwthungthiniyamkhuncakesthnungipyngestedim xaceriykidwaepnkareriyngsbepliynestkhxngfngkchnhnungtxhnungthwthungthnghmdthiekidcakest X ipyng Y ekhiynaethndwy X Yfngkchnhnungtxhnungthwthungmibthbathepnhlkkarphunthankhxngkhwamruinhlaysakhakhxngkhnitsastr dngechninniyamkhxngsmsnthan isomorphism rwmthngaenwkhidxun thiekiywkhxngechn smansnthan homeomorphism aelaxnuphnthsnthan diffeomorphism kruperiyngsbepliyn permutation group karaeplngechingphaphchay projective map aelaxun xikmakmayfngkchnprakxbaelafngkchnphkphn aekikh fngkchnhnungtxhnungthwthung thiprakxbdwyfngkchnhnungtxhnung say aelafngkchnthwthung khwa fngkchn f caepnfngkchnhnungtxhnungthwthung ktxemuxkhwamsmphnthphkphn f 1 epnfngkchn sunginkrnini f 1 kcaepnfngkchnhnungtxhnungthwthungdwykahndihfngkchn f X Y aela g Y Z epnfngkchnhnungtxhnungthwthung fngkchnprakxb g f kcaepnfngkchnhnungtxhnungthwthungdwy aelamifngkchnphkphnepn g f 1 f 1 g 1inthangtrngkham thahakkarprakxbkhxngfngkchnthngsxng g f epnfngkchnhnungtxhnungthwthung erasamarthsrupidephiyngwa f epnfngkchnhnungtxhnungaela g epnfngkchnthwthung duphaph khwamsmphnth f cak X ip Y caepnfngkchnhnungtxhnungthwthung ktxemuxmikhwamsmphnth g cak Y ip X xnhnung thithaih g f epnfngkchnexklksnbn X aelathaih f g epnfngkchnexklksnbn Y cungsngphlihthngsxngestmicanwnsmachikethakntha X aela Y epnestcakdaelw camifngkchnhnungtxhnungthwthungrahwangsxngestcak X ipyng Y ktxemux X aela Y micanwnsmachikethakn cakphawa canwnsmachikthiethakn niexngthinaipsukarniyamphawaechingkarnbkhxngestxnntineruxngkhxngthvsdiestechingscphcn sungepnaenwthanghnunginkarphicarnakhnadkhxngestxnntthiaetktangkntwxyangaelakarotaeyng aekikhsahrbest X id kahndfngkchnexklksn idx cak X ipyng X niyamody idx x x fngkchnniepnfngkchnhnungtxhnungthwthung fngkchn f bnesncanwncring R ipyng R niyamody f x 2x 1 epnfngkchnhnungtxhnungthwthung enuxngcakkha y aetlatwmikha x y 1 2 ephiyngtwediywthithaih f x y fngkchnelkhchikalng g R R sungniyamody g x ex imepnfngkchnhnungtxhnungthwthung ephraawaimmikha x idin R thithaih g x 1 sungaesdngwa g imepnfngkchnthwthung xyangirktam thahakepliynokhodemncakcanwncringipepncanwncringbwk R 0 aelw g caklayepnfngkchnhnungtxhnungthwthungthnthi sungfngkchnphkphnkhuxfngkchnlxkarithumthrrmchati g 1 x ln x fngkchn h R 0 sungniyamody h x x2 imepnfngkchnhnungtxhnungthwthung ephraawa h 1 h 1 1 sungaesdngwa h imepnfngkchnhnungtxhnung xyangirktam thahakepliynodemnipepn 0 aelw h caklayepnfngkchnhnungtxhnungthwthungthnthi sungfngkchnphkphnkhuxfngkchnrakthisxngthiepnbwk h 1 x x R R x x 1 x x 1 x3 x imepnfngkchnhnungtxhnungthwthung ephraawaodemn 1 0 aela 1 cbkhuipyng 0 twediywkn R 1 1 x sin x imepnfngkchnhnungtxhnungthwthung ephraawaodemn p 3 aela 2p 3 cbkhuipyng 3 2 twediywknsmbti aekikhfngkchn f cakbnesncanwncring R ip R caepnfngkchnhnungtxhnungthwthung ktxemuxkrafkhxngfngkchnmicudtdkbesntrngid inaenwnxnhruxaenwtngephiyngcudediyw tha X epnesthnung fngkchnhnungtxhnungthwthungcak X ipyngesttwexng sungekidcakkardaeninkarprakxbkhxngfngkchn cathaihekidkrupsmmatrkhxng X ekhiynaethnidhlayechn S X SX hrux X sylksnsudthaykhuxaefkthxeriyl sahrbestyxy A sungepnodemnkhxng f aelamiphawaechingkarnb A aelaestyxy B sungepnokhodemnkhxng f aelamiphawaechingkarnb B caidkhwamethakndngtxipni f A A aela f 1 B B tha X aela Y epnestcakdthimiphawaechingkarnbethakn aela f X Y dngnnpraoykhtxipnicamikhwamhmayethiybethakn f epnfngkchnhnungtxhnungthwthung f epnfngkchnhnungtxhnung f epnfngkchnthwthung sahrbestcakd S camifngkchnhnungtxhnungthwthungxyangnxyhnungfngkchn rahwangestkhxngxndbthukswn total order thiepnipidkhxngsmachik ipyngfngkchnhnungtxhnungthwthungcak S ipyng S hruxklawxikthanghnungkhux canwnkhxngkareriyngsbepliyn xikchuxhnungkhxngfngkchnhnungtxhnungthwthung khxngsmachikkhxng S caethakbcanwnkhxngxndbthukswnkhxngestnn nnkkhux n ekhathungcak https th wikipedia org w index php title fngkchnhnungtxhnungthwthung amp oldid 4727645, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,