จำนวนอดิศัย

ในทางคณิตศาสตร์นั้น จำนวนอดิศัย (อังกฤษ: transcendental number) คือ จำนวนอตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งหมายถึงจำนวนที่ไม่ใช่ราก (คำตอบ) ของสมการพหุนาม

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x^{1}+a_{0}=0}$

โดย n ≥ 1 และสัมประสิทธิ์ ${\displaystyle a_{j}}$ เป็นจำนวนเต็ม (หรือจำนวนตรรกยะ ซึ่งให้ความหมายเดียวกัน เนื่องจากเราสามารถคูณสัมประสิทธิ์ทั้งหมดด้วยตัวคูณร่วมน้อย เพื่อให้สัมประสิทธิ์ทั้งหมดกลายเป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว

พาย (π) เป็นจำนวนอดิศัยที่รู้จักกันดี

สมบัติ

จำนวนอดิศัยไม่สามารถนับได้

ตามหลักทฤษฎีเซต เซตของจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดนั้น สามารถนับได้ (สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ระหว่างเซตของจำนวนนับและจำนวนเชิงพีชคณิตได้) ในขณะที่เซตของจำนวนจริงทั้งหมด ไม่สามารถนับได้ (ไม่สามารถสร้างฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จากเซตของจำนวนนับไปยังจำนวนจริงได้) ดังนั้นเซตของจำนวนอดิศัยทั้งหมดนั้นจึง ไม่สามารถนับได้

ในมุมมองดังกล่าว เราสามารถกล่าวได้ว่า "จำนวนอดิศัยทั้งหมดมีมากกว่าจำนวนเชิงพีชคณิต" อย่างไรก็ตาม ในปัจจุบันนั้นมีจำนวนอดิศัยเพียงไม่กี่กลุ่มเท่านั้นที่เรารู้จัก (ในทำนองเดียวกันกับปัญหาที่ไม่สามารถคำนวณได้ในทฤษฎีการคำนวณได้) โดยทั่วไป การพิสูจน์ว่าจำนวนหนึ่ง ๆ เป็นจำนวนอดิศัยนั้น ยากอย่างยิ่ง อย่างไรก็ตามคุณสมบัติของจำนวนปกติอาจจะช่วยในการระบุจำนวนอดิศัยจากจำนวนอื่นๆ ได้

ประวัติการค้นพบจำนวนอดิศัย

จำนวนอดิศัยตัวแรกถูกค้นพบโดย Joseph Liouville ในปี ค.ศ. 1844 จึงมีชื่อเรียกว่าค่าคงที่ Liouville

จำนวนอดิศัยที่สำคัญ

จำนวนอดิศัยอื่น ๆ ที่เรารู้จักมีดังต่อไปนี้:

• e^a ในกรณีที่ a เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตที่ไม่เท่ากับศูนย์ (สังเกตว่า e เป็นจำนวนอดิศัย) (พิสูจน์โดยทฤษฎี Lindemann–Weierstrass )

• π (พิสูจน์โดยทฤษฎี Lindemann–Weierstrass )

• e^π ค่าคงตัว Gelfond (พิสูจน์โดยทฤษฎี Gelfond–Schneider)

• 2^√2 หรือในรูปแบบทั่วไป a^b โดย a ≠ 0,1 และเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต และ b เป็นจำนวนอตรรกยะเชิงพีชคณิต ซึ่งเป็นคำตอบสำหรับปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลเบิร์ต ในกรณีขยายของปัญหาข้อที่เจ็ดของฮิลเบิร์ต ที่ต้องการให้พิจารณาว่า a^b เป็นจำนวนอดิศัยหรือไม่เมื่อ a ≠ 0,1 และเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต และ b เป็นจำนวนอตรรกยะใด ๆ นั้นยังคงไม่มีใครสามารถให้คำตอบได้

• sin (1)

• ln (a) ถ้า a เป็นจำนวนตรรกยะบวกและ a ≠ 1

• Γ (1/3) (ดู ฟังก์ชันแกมมา) Γ(1/4), and Γ(1/6).

• Ω ค่าคงตัว Chaitin

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };\quad \beta >1}$  โดย ${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$  เป็นฟังก์ชันพื้น (floor function) เช่น ถ้า β = 2 ตัวเลขนี้คือ 0.11010001000000010000000000000001000…

• ค่าคงตัว Prouhet–Thue–Morse.

• 0.64341054629..., ค่าคงตัวของ Cahen.

ความสำคัญของจำนวนอดิศัย

การค้นพบจำนวนอดิศัย สามารถนำไปใช้พิสูจน์ความ เป็นไปไม่ได้ ในการแก้ปัญหาของคณิตศาสตร์กรีกโบราณหลายข้อที่เกี่ยวกับ การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน เช่น การสร้างสี่เหลี่ยมจตุรัสจากวงกลม ซึ่งเป็นไปไม่ได้เนื่องจาก π เป็นจำนวนอดิศัย. ในขณะที่การสร้างรูปด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน สามารถสร้างได้แต่รูปที่มีความยาวในขอบเขตของจำนวนเชิงพีชคณิตเท่านั้น

อ้างอิง

1. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
2. Chudnovsky, G. V. (1984). Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1500-7. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
3. Calude, Cristian S. (2002). Information and Randomness: An Algorithmic Perspective. Texts in Theoretical Computer Science (2nd rev. and ext. ed.). Springer-Verlag. p. 239. ISBN 978-3-540-43466-5. Zbl 1055.68058.
4. Mahler, Kurt (1929). "Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen". Math. Annalen. 101: 342–366. doi:10.1007/bf01454845. JFM 55.0115.01.
5. Allouche & Shallit (2003) p.387
6. Davison & Shallit 1991