รูปหลายเหลี่ยมสร้างได้

รูปหลายเหลี่ยมสร้างได้ คือรูปหลายเหลี่ยมปรกติที่สามารถสร้างขึ้นด้วยวงเวียนและสันตรง ตัวอย่างเช่น รูปห้าเหลี่ยมปรกติ เป็นรูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งที่สามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ในขณะที่รูปเจ็ดเหลี่ยมปรกติเป็นรูปที่ไม่สามารถสร้างได้

การสร้างรูปห้าเหลี่ยมปรกติ

เงื่อนไขที่ทำให้สามารถสร้างได้

รูป n เหลี่ยมปรกติสามารถสร้างขึ้นด้วยวงเวียนและสันตรง ถ้า n คือผลคูณระหว่างกำลังของ 2 และจำนวนใด ๆ ที่แตกต่างกันของจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์

รูปหลายเหลี่ยมปรกติบางรูปสามารถสร้างขึ้นได้ง่ายด้วยวงเวียนและสันตรง แต่ก็มีบางรูปที่สร้างไม่ได้ ด้วยสิ่งนี้จึงทำให้เกิดคำถามที่ว่า เป็นไปได้หรือไม่ที่รูปหลายเหลี่ยมปรกติ ทั้งหมด จะสามารถสร้างได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ถ้าไม่ได้ มีรูปใดบ้างที่สร้างได้หรือไม่ได้

คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ ได้พิสูจน์ว่ารูปสิบเจ็ดเหลี่ยมปรกติสามารถสร้างได้เมื่อ พ.ศ. 2339 (ค.ศ. 1796) และห้าปีต่อมา เขาก็ได้สร้างทฤษฎี Gaussian periods ในงานเขียน Disquisitiones Arithmeticae ซึ่งทฤษฎีนี้ทำให้เขาสามารถกำหนดเงื่อนไขเพียงพอขึ้นมาอย่างหนึ่ง เพื่อที่จะทดสอบความสามารถในการสร้างของรูปหลายเหลี่ยมปรกติดังนี้

เกาส์คาดการณ์ว่าเงื่อนไขนี้อาจเป็นเงื่อนไขจำเป็น แต่เขาก็ไม่ได้เสนอการพิสูจน์สำหรับคำกล่าวนี้ จนกระทั่งได้รับการพิสูจน์โดย Pierre Wantzel เมื่อ พ.ศ. 2380 (ค.ศ. 1837) คำกล่าวนี้อาจดูเหมือนว่าเกาส์ไม่ได้มีการพิสูจน์ที่ถูกต้อง เพราะหากให้ n = 9 การสร้างรูปเก้าเหลี่ยมปรกติจะยุติลงด้วยความเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งมุม 120° ออกเป็นสามส่วนเท่ากัน ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่เกาส์ได้ตระหนักไว้แล้ว

ผลจากทฤษฎีของเกาส์

จำนวนแฟร์มาต์มีเพียง 5 จำนวนแรกเท่านั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ

F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257, และ F₄ = 65537

ซึ่งจำนวนแฟร์มาต์ถัดไปอีก 7 จำนวนคือ F₅ ถึง F₁₁ เป็นจำนวนประกอบ (ลำดับ   A019434)

ดังนั้นรูป n เหลี่ยมปรกติที่สามารถสร้างได้ ได้แก่

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, ... (ลำดับ   A003401)

ส่วนรูป n เหลี่ยมปรกติที่สร้างไม่ได้ด้วยวงเวียนและสันตรง ได้แก่

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, ... (ลำดับ   A004169)

ทฤษฎีทั่วไป

หลักการของการพิสูจน์ข้างต้นได้ถูกอธิบายไว้อย่างเด่นชัดด้วยทฤษฎีกาลัว (Galois theory) ซึ่งแสดงไว้อย่างตรงไปตรงมาในเรขาคณิตวิเคราะห์ว่า ความยาวที่สามารถสร้างได้ จะต้องมาจากความยาวพื้นฐานที่เป็นคำตอบของสมการกำลังสองบางลำดับ ในพจน์ของทฤษฎีฟีลด์ ความยาวเช่นนั้นจะต้องถูกบรรจุอยู่ในภาคขยายฟีลด์ (field extension) ที่สร้างขึ้นจากการซ้อนทับกันของภาคขยายกำลังสอง (quadratic extension) ดังนั้นฟีลด์ที่ถูกสร้างขึ้นจะมีดีกรีเหนือฟีลด์ฐานเท่ากับกำลังของ 2 จำนวนหนึ่ง

ในกรณีเฉพาะสำหรับรูป n เหลี่ยมปรกติ คำถามในตอนแรกจึงลดทอนลง กลายเป็นว่าการสร้างเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับ cos(2π/n) จะสามารถทำได้อย่างไร

จำนวนนี้ cos(2π/n) วางตัวอยู่ในฟีลด์ไซโคลโทมิก (cyclotomic field) ที่ n และด้วยข้อเท็จจริงก็อยู่ในฟีลด์ย่อยของจำนวนจริงด้วย ซึ่งเป็นฟีลด์จำนวนจริงโดยรวม (totally real field) และเป็นปริภูมิเวกเตอร์ตรรกยะของมิติ ½φ(n) เมื่อ φ(n) คือฟังก์ชันทอเทียนต์ของออยเลอร์ (Euler's totient function) ผลลัพธ์ของ Wantzel ก็มาจากการคำนวณที่แสดงว่า φ(n) คือกำลังของ 2 ในกรณีดังกล่าว

จากการสร้างรูปแบบเกาส์ เมื่อกรุปของกาลัวเป็น 2-กรุป จะบอกได้ว่ามีลำดับของกรุปย่อยของจำนวน 1, 2, 4, 8, ... ที่ซ้อนในกันอยู่โดยสมาชิกแต่ละตัวกับตัวถัดไป (ในเรื่องทฤษฎีกรุปคืออนุกรมประกอบ) ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายโดยการอุปนัยว่ากรณีเช่นนี้เป็นกรุปอาบีเลียน เพราะฉะนั้นจึงมีฟีลด์ย่อยหลายฟีลด์ที่ซ้อนอยู่ภายในฟีลด์ไซโคลโทมิก โดยแต่ละตัวนั้นยกกำลัง 2 ของตัวก่อนหน้า การสร้างจำนวนขึ้นในฟีลด์จึงสามารถเขียนขึ้นด้วยทฤษฎี Gaussian period ตัวอย่างเช่นกำหนดให้ n = 17 จะมีช่วงคาบหนึ่งที่เป็นผลบวกของ 8 รากของ 1, คาบหนึ่งที่เป็น 4 รากของ 1, และอีกคาบหนึ่งเป็นผลบวกของ 2 รากของ 1 ซึ่งนั่นก็คือ cos(2π/17)

รากปฐมฐานแต่ละตัวเป็นรากของสมการกำลังสองดังที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ นอกจากนั้นสมการเหล่านี้จะมีคำตอบเป็นจำนวนจริงมากกว่าที่จะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นหลักการเช่นนี้จึงสามารถนำไปใช้ในการสร้างรูปทางเรขาคณิตได้ เพราะว่าทุกอย่างที่ทำมาตั้งแต่ต้นอยู่ในฟีลด์จำนวนจริงโดยรวม

การสร้างด้วยวงเวียนและสันตรง

เราทราบว่ารูปหลายเหลี่ยมสร้างได้ สามารถสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงทั้งหมด ถ้ากำหนดให้ n = p·q โดยให้ p = 2 หรือให้ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ ดังนั้นรูป n เหลี่ยมจะสามารถสร้างขึ้นได้จากรูป p เหลี่ยมและรูป q เหลี่ยมดังนี้

• ถ้า p = 2: วาดรูป q เหลี่ยมและแบ่งครึ่งมุมที่ศูนย์กลางของมันมุมหนึ่ง จากกรณีนี้ เราจะได้รูป 2q เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นมา
• ถ้า p > 2: วาดรูป p เหลี่ยมและรูป q เหลี่ยมภายในวงกลมรูปเดียวกัน โดยให้ใช้จุดยอดจุดหนึ่งร่วมกัน เนื่องจาก p และ q เป็นจำนวนเฉพาะที่สัมพันธ์กัน ดังนั้นจะมีจุดยอดสองจุดที่แบ่งมุมที่ศูนย์กลางออกเป็นขนาด 360°/(p·q) จากกรณีนี้ เราจะได้รูป p·q เหลี่ยมถูกสร้างขึ้นมา

ดังนั้นจึงเหลือเพียงกรณีที่จะต้องหาว่า รูป n เหลี่ยมสามารถสร้างด้วยวงเวียนและสันตรงอย่างไร เมื่อ n เป็นจำนวนเฉพาะแฟร์มาต์

• การสร้างรูปสามเหลี่ยมปรกติ (ด้านเท่า) นั้นเป็นเรื่องง่าย มีการค้นพบมาตั้งแต่สมัยโบราณ
• การสร้างรูปห้าเหลี่ยมปรกติ ได้อธิบายไว้โดยยุคลิด ในงานเขียนชื่อ Elements เมื่อประมาณ พ.ศ. 243 (300 ปีก่อนคริสตกาล) และโดยทอเลมี ในงานเขียนชื่อ Almagest เมื่อประมาณ พ.ศ. 693 (ค.ศ. 150)
• ถึงแม้ว่าเกาส์สามารถพิสูจน์ได้ว่า รูปสิบเจ็ดเหลี่ยมปรกติสามารถสร้างได้ แต่เขาก็ไม่ได้แสดงวิธีการสร้างให้ดู การสร้างรูปสิบเจ็ดเหลี่ยมปรกติเป็นครั้งแรกนั้นกระทำโดย Erchinger ในหนึ่งปีให้หลัง หลังจากผลงานของเกาส์
• การสร้างรูป 257 เหลี่ยมปรกติโดยละเอียดเป็นครั้งแรก อธิบายไว้โดย Friedrich Julius Richelot เมื่อ พ.ศ. 2375 (ค.ศ. 1832)
• การสร้างรูป 65537 เหลี่ยมปรกติเป็นครั้งแรก อธิบายไว้โดย Johann Gustav Hermes เมื่อ พ.ศ. 2437 (ค.ศ. 1894) ซึ่งการสร้างนั้นซับซ้อนมาก Hermes ใช้เวลาถึง 10 ปีเพื่อที่จะเขียนต้นฉบับลายมือกว่า 200 หน้า (อย่างไรก็ตาม John Horton Conway ได้ตั้งข้อสงสัยต่อความถูกต้องในงานเขียนของ Hermes)

การสร้างแบบอื่น

แนวคิดของความสามารถในการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปรกติทั้งหมดที่กล่าวมา เป็นการเน้นย้ำว่าใช้เพียงวงเวียนและสันตรง ดังนั้นการสร้างแบบอื่นจึงสามารถเกิดขึ้นได้หากมีเครื่องมืออื่นๆ มาช่วย ตัวอย่างเช่นวิธีการหนึ่งคือ การสร้างแบบนิวซิส (neusis construction) ซึ่งจำเป็นต้องใช้ไม้บรรทัดที่มีสเกลแทนสันตรง การสร้างรูปเจ็ดเหลี่ยมปรกติด้วยวิธีการนิวซิสจึงสามารถทำได้ง่าย ถึงแม้ว่ารูปหลายเหลี่ยมอีกจำนวนมากก็ยังคงไม่สามารถสร้างได้

อ้างอิง

1. Friedrich Julius Richelot (1832). "De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 9: 1–26, 146–161, 209–230, 337–358.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Duane W. DeTemple (1991). "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions". The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97–108. doi:10.2307/2323939. MR1089454.
• Christian Gottlieb (1999). "The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon". Mathematical Intelligencer. 21 (1): 31–37. MR1665155.
• Regular Polygon Formulas, Ask Dr. Math FAQ.
• Why Gauss could not have proved necessity of constructible regular polygons 2011-07-20 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน