ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม

ปัญหารางวัลมิลเลนเนียม เป็นปัญหาที่อยู่บนพื้นฐานของคณิตศาสตร์ 7 ข้อ ซึ่งเสนอในปีค.ศ. 2000 โดยสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ จากการรวบรวมปัญหาสำคัญในวงการวิทยาการคอมพิวเตอร์ ฟิสิกส์ และคณิตศาสตร์ ซึ่งยังพิสูจน์ไม่สำเร็จในขณะนั้น ให้เป็นปัญหาแห่งคริสต์ศตวรรษที่ 21 โดยสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้ประกาศมอบเงินรางวัลหนึ่งล้านดอลลาร์สหรัฐให้กับผู้ที่สามารถพิสูจน์ปัญหาข้อใดข้อหนึ่งได้สำเร็จ

ในปี ค.ศ. 2006 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้มอบรางวัลหนึ่งล้านดอลลาร์สหรัฐ ให้กับกริกอรี เพเรลมาน ผู้พิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร หนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียมได้สำเร็จ และยังเป็นปัญหารางวัลมิลเลนเนียมเพียงปัญหาเดียวที่พิสูจน์สำเร็จจนถึงปัจจุบันนี้

ปัญหารางวัลมิลเลนเนียมทั้ง 7 ข้อ ได้แก่

1. ปัญหาพีและเอ็นพี
2. ข้อความคาดการณ์ของฮอดจ์
3. ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร (พิสูจน์สำเร็จ)
4. สมมติฐานของรีมันน์
5. ปัญหาการมีอยู่ของทฤษฎีหยาง-มิลส์ และมวลพื้น
6. ปัญหาการมีอยู่ของนาเวียร์-สโตกส์และความราบเรียบ
7. ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน

ปัญหาพีและเอ็นพี

ดูบทความหลักที่: ปัญหาพีและเอ็นพี

ปัญหาพีและเอ็นพีเป็นปัญหาสำคัญทางวิทยาการคอมพิวเตอร์และทฤษฎีการคำนวณ ซึ่งศึกษาความซับซ้อนในการคำนวณ ระหว่างกลุ่มความซับซ้อนพี (P) ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่สามารถ ค้นหา (search) คำตอบได้ในเวลาพหุนาม กับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี (NP) ซึ่งเป็นกลุ่มปัญหาที่สามารถ ตรวจสอบ (verify) คำตอบได้ในเวลาพหุนาม

ปัญหาพีและเอ็นพีตั้งข้อสงสัยว่ากลุ่มความซับซ้อนพีและเอ็นพีเป็นกลุ่มปัญหาเดียวกันหรือไม่ ? เพราะกลุ่มความซับซ้อนพีจะเป็นเซตย่อยของกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพีเสมอ เนื่องจากเราสามารถตรวจสอบ คำตอบด้วยการ ค้นหา คำตอบได้ แต่ในปัจจุบันยังพิสูจน์ไม่ได้ว่ากลุ่มความซับซ้อนเอ็นพีจะเป็นเซตย่อยของกลุ่มความซับซ้อนพีหรือไม่? เนื่องจากมีกลุ่มปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ (NP-Complete) ซึ่งสามารถ ตรวจสอบ คำตอบได้ในเวลาพหุนาม แต่ยังไม่พบ ขั้นตอนวิธี ค้นหา คำตอบด้วยความเร็วระดับเวลาพหุนาม

เนื่องจากกลุ่มปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์เป็นกลุ่มปัญหาที่ลดรูปซึ่งกันและกัน และลดรูปกับกลุ่มปัญหาเอ็นพีทั้งหมด ดังนั้นหากค้นพบขั้นตอนวิธี ค้นหา คำตอบของปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์ปัญหาใดปัญหาหนึ่งเป็นเวลาพหุนาม กลุ่มความซับซ้อนพีจะเป็นกลุ่มปัญหาเดียวกับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี แต่หากมีบทพิสูจน์ว่าไม่มีขั้นตอนวิธีใดสามารถ ค้นหา คำตอบของปัญหาเอ็นพีบริบูรณ์เป็นเวลาพหุนาม กลุ่มความซับซ้อนพีจะไม่ใช่กลุ่มปัญหาเดียวกับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี

หากกลุ่มความซับซ้อนพีเท่ากับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี ปัญหาใดที่ ตรวจสอบ คำตอบได้ในเวลาพหุนาม จะสามารถ ค้นหา คำตอบได้ในเวลาพหุนามไปด้วย ทำให้การ ค้นหา ซึ่งเป็นปัญหาสำคัญทางวิทยาการคอมพิวเตอร์ สามารถทำได้รวดเร็วมากขึ้น และถึงแม้พิสูจน์ได้ว่ากลุ่มความซับซ้อนพีไม่เท่ากับกลุ่มความซับซ้อนเอ็นพี นักคณิตศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็จะเข้าใจรายละเอียดของการ ตรวจสอบ และการ ค้นหา มากขึ้น และทำให้เข้าใจปัญหาทางคณิตศาสตร์ ชีววิทยา ปรัชญา และปัญหาวิทยาการรหัสลับได้อย่างลึกซึ้งขึ้น

ปัจจุบัน นักคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่เชื่อว่า P ≠ NP

ปัญหานี้ถูกตั้งข้อสงสัย และเสนออย่างเป็นทางการโดย สตีเฟน คุก

ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร (พิสูจน์สำเร็จ)

ดูบทความหลักที่: ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร

ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรเป็นปัญหาสำคัญทางทอพอโลยี ซึ่งศึกษาสมานสัณฐาน (Homeomorphism) กล่าวคือ ความสามารถในการยืดหดของพื้นผิว (Manifold) ต่าง ๆ ระหว่างคุณสมบัติที่ห่วง (Loop) บนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด (Simply connected) กับความสามารถในการยืดหดพื้นผิวให้กลายเป็นทรงกลมได้ ในโลก 3 มิติ อองรี ปวงกาเร พิสูจน์ได้ว่า พื้นผิวสอง มิติปิด (Closed) ที่ห่วงบนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุดได้ จะยืดหดพื้นผิวเป็นผิวทรงกลมได้เสมอ

ข้อคาดการณ์ของปวงกาเรตั้งข้อสงสัยว่าในโลก 4 มิติ พื้นผิว 3 มิติใด ๆ ที่ห่วงบนพื้นผิวสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด จะยืดหดพื้นผิวเป็นทรงกลมผิว 3 มิติได้หรือไม่ ? ทั้งนี้พื้นผิว 4 มิติได้รับการพิสูจน์ว่าจริงในปี ค.ศ. 1961 โดย Stephen Smale และพื้นผิวที่มากกว่า 4 มิติขึ้นไปได้รับการพิสูจน์ว่าจริง Michael Freedman ในปีค.ศ. 1982 แต่พื้นผิว 3 มิติ กลับเป็นปัญหาเดียวที่ยังพิสูจน์ไม่ได้จนถึงค.ศ. 2000

จนในที่สุด ในปีค.ศ. 2003 กริกอรี เพเรลมานได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์ข้อคาดการณ์ของปวงกาเร บทพิสูจน์ได้รับการตรวจสอบเสร็จในปีค.ศ. 2006 เพเรลมานได้รับการคัดเลือกให้ได้รับรางวัลฟิลด์มีเดิล แต่เพเรลเมนปฏิเสธรางวัลดังกล่าว สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ได้ประกาศให้รางวัลมิลเลเนียมในวันที่ 18 มีนาคม 2010 แต่เพเรลมานก็ปฏิเสธเช่นกัน โดยไม่ได้ให้เหตุผลกับทางสถาบัน อย่างไรก็ดี เขาได้อธิบายว่านี่เป็นงานของชุมชนคณิตศาสตร์ และความสำเร็จนี้ก็เป็นของนักคณิตศาสตร์ทั้งปวง การให้รางวัลนี้จึงไม่ยุติธรรม เพราะความสำเร็จในการพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเรของเขานั้น ไม่ได้ยิ่งใหญ่ไปกว่าคุณูปการของ Richard Hamilton ผู้เสนอแนวคิดที่เพเรลมานนำมาต่อยอดเพื่อพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร เลย

การพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของปวงกาเร ทำให้ข้อความที่ว่า พื้นผิวที่ห่วงบนพื้นผิวนั้นสามารถหดลงจนกลายเป็นจุด (Simply connected) จะสามารถยืดหดพื้นผิวให้กลายเป็นทรงกลมได้ เป็นจริงในทุกมิติ ทำให้ใช้วิธีนี้เป็นวิธีทดสอบพื้นฐานทางทอพอโลยี ทั้งทอพอโลยีแบบดั้งเดิม และทอพอโลยีขั้นสูงอีกด้วย

ปัญหานี้ถูกตั้งข้อสงสัยครั้งแรกโดย อองรี ปวงกาเร และถูกเสนออย่างเป็นทางการโดย John Milnor

สมมติฐานของรีมันน์

ดูบทความหลักที่: สมมติฐานของรีมันน์

สมมติฐานของรีมันน์เป็นปัญหาสำคัญทางทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่งการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ สมมติฐานรีมันน์เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ซึ่งมีส่วนช่วยปรับทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะ ให้แสดงการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะได้ถูกต้องยิ่งขึ้น ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์มีโดเมนเป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยค่า z ที่มีส่วนจริง (Real part) มากกว่าศูนย์ และทำให้ผลลัพธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นศูนย์จะมีผลต่อการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ ซึ่งทุก ๆ ค่า z เท่าที่แบร์นฮาร์ด รีมันน์และนักคณิตศาสตร์ผู้อื่นพบว่าคุณสมบัตินี้ กลับอยู่บนเส้นตรงส่วนจริงเท่ากับ 1/2 เท่านั้น และยังไม่พบที่บริเวณอื่นเลย

สมมติฐานรีมันน์ตั้งข้อสงสัยว่า นอกจากค่า z ที่มีส่วนจริงเท่ากับ 1/2 แล้ว ไม่มีค่า z ที่ส่วนจริงมากกว่าศูนย์ใด ๆ อีกที่ทำให้ผลลัพธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นศูนย์

หากค้นพบว่ามีค่า z อื่นที่ส่วนจริงมากกว่าศูนย์และทำให้ผลลัพธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นศูนย์ สมมติฐานรีมันน์จะผิดทันที แต่หากมีบทพิสูจน์ว่าไม่มีค่า z อื่นที่ส่วนจริงมากกว่าศูนย์ใด ๆ ที่ทำให้ผลลัพธ์ของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์เป็นศูนย์ สมมติฐานรีมันน์ก็จะถูกต้อง

สมมติฐานรีมันน์มีผลต่อการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะ ถ้าสมมติฐานรีมันน์ผิด แสดงว่าจำนวนเฉพาะกระจายตัว ไม่สม่ำเสมอ ทำให้การค้นหาจำนวนเฉพาะมีความเอนเอียง (bias) ซึ่งจะมีผลกระทบต่อวิทยาการที่อยู่บนพื้นฐานของจำนวนเฉพาะ เช่น วิทยาการรหัสลับ เป็นต้น

ปัญหานี้ถูกตั้งข้อสงสัยโดยแบร์นฮาร์ด รีมันน์ และเสนออย่างเป็นทางการโดย Enrico Bombieri

ปัญหาการมีอยู่ของทฤษฎีหยาง-มิลส์ และมวลพื้น

ดูบทความหลักที่: ปัญหาการมีอยู่ของหยาง-มิลส์ และมวลพื้น

ปัญหาการมีอยู่ของหยาง-มิลล์ และมวลพื้น เป็นปัญหาสำคัญทางฟิสิกส์ อยู่ภายใต้ความพยายามสร้างทฤษฎีการรวมแรงครั้งใหญ่และทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง ในขณะนี้ ทฤษฎีหยาง-มิลส์ ได้รวบรวมคุณสมบัติทางฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คุณสมบัติทางทฤษฎีสนามควอนตัม ไว้จำนวนมาก แต่ทฤษฎีหยาง-มิลส์ยังอธิบายคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่สอดคล้องกับการสังเกตไม่ได้ เช่น คุณสมบัติ Renormalization บน 4 มิติ คุณสมบัติของอนุภาคที่เกี่ยวพันกับมวล-พลังงาน คุณสมบัติของอนุภาคในนิวเคลียสของอะตอม

ปัญหาการมีอยู่ของทฤษฎีหยาง-มิลส์และมวลพื้น จึงตั้งคำถามว่า จงสร้างกรุป ซึ่งเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ที่มีคุณสมบัติ Renormailization ใน 4 มิติ สามารถลดรูปไปยังทฤษฎีหยาง-มิลส์ และสามารถอธิบายระบบทางฟิสิกส์ได้ โดยเกี่ยวพันกับมวล-พลังงานค่าหนึ่งที่มากกว่าศูนย์เสมอ (ยกเว้นระบบสูญญากาศ) ค่ามวล-พลังงานนี้ เรียกว่ามวลพื้น (Mass gap)

หากค้นพบแบบจำลองดังกล่าว เราอาจเข้าใจคุณสมบัติของสนามแรงเพิ่มเติม และเข้าใกล้ทฤษฎีการรวมแรงครั้งใหญ่ และทฤษฎีแห่งสรรพสิ่ง

ปัญหานี้ถูกเสนออย่างเป็นทางการโดย Arthur Jaffe และ Edward Witten และทบทวนสถานะล่าสุดโดย Michael R. Douglas

ดูเพิ่ม

• ปัญหาของฮิลแบร์ท
• ปัญหาของสเมล

อ้างอิง

1. Scott Aaronson (14 August 2011). "Why Philosophers Should Care About Computational Complexity". Technical report.
2. William I. Gasarch (June 2002). "The P=?NP poll" (PDF). SIGACT News. 33 (2): 34–47. doi:10.1145/1052796.1052804.
3. "Maths genius declines top prize". BBC News. 22 August 2006. สืบค้นเมื่อ 16 June 2011.
4. "Prize for Resolution of the Poincar? Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman" (PDF) (Press release). Clay Mathematics Institute. March 18, 2010. สืบค้นเมื่อ March 18, 2010. The Clay Mathematics Institute (CMI) announces today that Dr. Grigoriy Perelman of St. Petersburg, Russia, is the recipient of the Millennium Prize for resolution of the Poincar? conjecture.
5. Associated Press (1 July 2010). "Russian mathematician rejects $1 million prize". msnbc.com. สืบค้นเมื่อ 16 June 2011.
6. Ritter, Malcolm (1 July 2010). "Russian mathematician rejects $1 million prize". The Boston Globe.
7. "He Conquered the Conjecture". 29 April 2010.