ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ในทางคณิตศาสตร์ ระบบพิกัดเชิงขั้ว (อังกฤษ: polar coordinate system) คือระบบค่าพิกัดสองมิติในแต่ละจุดบนระนาบถูกกำหนดโดยระยะทางจากจุดตรึงและมุมจากทิศทางตรึง

จุดในระบบพิกัดเชิงขั้วกับขั้ว O และแกนเชิงขั้ว L ในเส้นสีเขียว จุดกับพิกัดรัศมี 3 และพิกัดมุม 60 องศาหรือ (3,60°) ในเส้นสีฟ้า จุด (4,210°)

จุดตรึง (เหมือนจุดกำเนิดของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน) เรียกว่าขั้ว, และลากรังสีจากขั้วเข้ากับทิศทางตรึงคือแกนเชิงขั้ว ระยะทางจากขั้วเรียกว่าพิกัดรัศมีหรือรัศมี และมุมคือพิกัดมุม, มุมเชิงขั้ว, หรือมุมทิศ

ประวัติ

ดูเพิ่มเติมที่: ประวัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

มีการนำแนวคิดเรื่องมุมและรัศมีมาใช้ตั้งแต่สมัยโบราณในหนึ่งสหัสวรรษก่อนคริสต์ศักราช นักดาราศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อฮิปปาร์คัส (190-120 BCE) สร้างตารางฟังก์ชันคอร์ดที่ให้ความยาวของคอร์ดสำหรับแต่ละมุม และมีการอ้างอิงว่าเขาใช้ระบบพิกัดเชิงขั้วในการพิสูจน์ตำแหน่งของดวงดาว ใน On Spirals (ว่าด้วยเส้นเกลียว) อาร์คิมิดีสบรรยายถึงวงก้นหอยอาร์คิมิดีสว่ารัศมีของฟังก์ชันขึ้นกับมุม อย่างไรก็ตามสิ่งที่ชาวกรีกเหล่านี้ทำก็ยังไม่ขยายออกไปถึงระบบพิกัดเชิงขั้วที่สมบูรณ์

ในคริสต์ศตวรรษที่ 9 นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ ฮะบัซ อัล-ฮะซับ อัล-มาร์วะซิ (Habash al-Hasib al-Marwazi) ใช้วิธีตรีโกณมิติเชิงทรงกลมและการฉายแผนที่เพื่อที่จะแปลงผันพิกัดเชิงขั้วไปเป็นระบบพิกัดที่แตกต่างโดยมุ่งความสนใจไปยังจุดจำเพาะบนรูปทรงกลม ในที่นี้คือกิบลัตมีทิศทางสู่มักกะหฺ นักภูมิศาสตร์ชาวเปอร์เซียที่ชื่อ อะบู รอย์ฮาน บิรูนี (Abū Rayhān Bīrūnī) (973-1048) พัฒนาแนวคิดซึ่งดูเหมือนจะใกล้เคียงกับระบบพิกัดเชิงขั้ว ราวๆคริสต์ศตวรรษ 1025 เขาเป็นคนแรกที่บรรยายถึงการฉายที่ระยะห่างเท่ากันของแอซมัทเท่ากับขั้วของทรงกลมฟ้า

มีรายงานที่ต่างกันของการเริ่มต้นของพิกัดเชิงขั้วตามส่วนหนึ่งของรูปนัยระบบพิกัด Origin of Polar Coordinates (กำเนิดพิกัดเชิงขั้ว) ประวัติของพิกัดนี้ถูกบรรยายโดยจูเลียน โลเวล โคล์ลิดจ์ (Julian Lowell Coolidge) ศาสตราจารย์ฮาร์วาร์ด เกรกัวร์ เดอ แชง-แวงซอง (Grégoire de Saint-Vincent) และ โบนาเวนตูรา คาวาลิเอริ (Bonaventura Cavalieri) ต่างเริ่มนำแนวคิดมาใช้ในกลางคริสต์ศตวรรษที่ 7 แชง-แวงซองเขียนถึงพิกัดเชิงขั้วโดยการส่วนตัวในปี ค.ศ. 1625 และตีพิมพ์งานของเขาในปี ค.ศ. 1647 ขณะที่คาวาลิเอริตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1635 และฉบับที่ถูกต้องในปี ค.ศ. 1653 คาวาลิเอริเป็นบุคคลแรกที่ใช้พิกัดเชิงขั้วแก้ปัญหาเกี่ยวกับพื้นที่ในวงก้นหอยอาร์คิมิดีส ต่อมาแบลส ปาสกาลได้ใช้พิกัดเชิงขั้วคำนวณหาความยาวของส่วนโค้งของรูปพาราโบลา

ใน Method of Fluxions (วิธีการไหล) (เขียนขึ้นในปี ค.ศ. 1671, ตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1736) เซอร์ไอแซก นิวตันพิเคราะห์การแปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วซึ่งเขาได้อิงตาม "รูปแบบที่ 7 สำหรับวงก้นหอย" และพิกัดอื่นๆอีกเก้าพิกัด ในวารสาร Acta Eruditorum (1691), เจคอบ เบอร์โนลลี (Jacob Bernoulli) ใช้ระบบร่วมกับจุดบนเส้นที่เรียกว่า ขั้ว และ แกนเชิงขั้ว ตามลำดับ พิกัดเป็นระยะทางจากขั้วและมุมจากแกนเชิงขั้ว งานของเบอร์โนลลีครอบคลุมไปถึงการพบรัศมีความโค้งของเส้นโค้งที่อยู่ในพิกัดนี้

คำว่า พิกัดเชิงขั้ว โดยแท้จริงแล้วน่าจะมาจากเกโกรีโอ ฟอนตานา (Gregorio Fontana) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีในสมัยคริสต์ศตวรรษที่ 18 และคำนี้ปรากฏเป็นภาษาอังกฤษในงานแปลของ จอร์จ พีคอก (George Peacock) ที่ชื่อ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ ของลากรัซ (Lacroix) ในปี ค.ศ. 1816 อเล็กซิส คลาเราต์เป็นคนแรกที่คิดพิกัดเชิงขั้วในรูปแบบสามมิติ และเลออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นคนแรกที่นำมาใช้งานจริง

สัญนิยม

 

เส้นกริดขั้วและแถบบอกมุมในแต่ละองศา

พิกัดรัศมีมักใช้ r แสดงแทนและพิกัดมุมใช้ θ หรือ t แสดงแทน

มุมในเครื่องหมายขั้ว ทั่วไปถูกแสดงอยู่ในรูปแบบองศาหรือเรเดียน (2π rad เท่ากับ 360°) องศาถูกใช้ในการเดินเรือ, การสำรวจ, และมีการนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา ขณะที่เรเดียนโดยทั่วไปอยู่ในคณิตศาสตร์และคณิตศาสตร์ฟิสิกส์

ในหลายๆบริบท พิกัดมุมบวกหมายความว่ามุม θ ถูกวัดในทิศทวนเข็มนาฬิกาจากแกนและมีค่าพิกัดมุมลบเมื่อวัดในทิศตามเข็มนาฬิกา ในเอกสารทางคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งแกนเชิงขั้วถูกลากในแนวนอนและไปทางทางขวา

ความพิเศษของพิกัดเชิงขั้ว

ทุกตัวเลขของการหมุนครบรอบ (360°) พิกัดมุมจะไม่เปลี่ยนทิศทาง และพิกัดรัศมีลบแสดงถึงระยะทางซึ่งได้จากการวัดเหมือนพิกัดรัศมีบวกแต่มีทิศทางตรงข้าม ดังนั้นในจุดเดียวกันสามารถแสดงด้วยตัวเลขไม่สิ้นสุดที่มีพิกัดเชิงขั้วต่างกัน (r, θ ± n×360°) หรือ (−r, θ ± (2n + 1) 180°) เมื่อ n คือจำนวนเต็มใดๆ ยิ่งไปกว่านั้น ขั้วเองสามารถแสดงแทนด้วย (0, θ) สำหรับมุม θ ใดๆ

เมื่อต้องการแสดงแทนจุดใดๆ ปกติใช้ r เป็นจำนวนไม่เป็นลบ (r ≥ 0) และ θ ในช่วง [0, 360°) หรือ (−180°, 180°] (ในเรเดียน, [0, 2π) หรือ (−π, π]) และต้องเลือกแอซิมัทสำหรับขั้ว เช่น θ = 0

ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนกับพิกัดเชิงขั้ว

 

แผนภาพความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเชิงขั้วและพิกัดคาร์ทีเซียน

ค่าของพิกัดเชิงขั้ว r และ θ สามารถแปลงเป็นพิกัดคาร์ทีเซียน x and y โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์:

${\displaystyle x=r\cos \theta \,}$ 

${\displaystyle y=r\sin \theta \,}$ 

ขณะที่ค่าของพิกัดคาร์ทีเซียน x และ y ก็สามารถแปลงเป็นพิกัดเชิงขั้ว r โดย

${\displaystyle r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad }$  (ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส) และ

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{if }}x\geq 0\\-\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\\end{cases}}}$ 

ทุกสูตรเหล่านี้สมมุติว่าขั้วคือจุดกำเนิดคาร์ทีเซียน (0,0) แกนเชิงขั้วคือแกนคาร์ทีเซียน x และทิศทางของแกนคาร์ทีเซียน y มีแอซิมัท +π/2 rad = +90° (แทนที่ −π/2) ฟังก์ชันอาร์กไซน์คือส่วนกลับของฟังก์ชันไซน์ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [−π/2,+π/2] = [−90°,+90°]

สูตรสำหรับ θ นอกเหนือจากการแทนที่ด้วยมุมในพิสัย [-π/2,+3π/2) = [−90°,+270°)

θ ในช่วง [0, 2π) อาจใช้

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\end{cases}}}$ 

ฟังก์ชันอาร์กแทนเป็นส่วนกลับของฟังก์ชันแทนเจนต์ซึ่งสมมุติแทนที่ด้วยมุมในพิสัย (−π/2,+π/2) = (−90°,+90°)

θ ในช่วง (−π, π] อาจใช้

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\end{cases}}}$ 

ในภาษาโปรแกรมสมัยใหม่มีฟังก์ชันที่จะคำนวณหาพิกัดมุม θ เพียงให้ค่า x และ y โดยไม่ต้องให้อะไรเพิ่มเติม เช่น ฟังก์ชัน atan2 (y,x) ในภาษาซี และ atan (y,x) ในคอมมอน ลิซ์ป (Common Lisp) ในทั้งสองกรณีนั้น ผลที่ได้เป็นมุมในเรเดียนในพิสัย (−π, π]

สมการเชิงขั้วของเส้นโค้ง

สมการที่นิยามเส้นโค้งพืชคณิตแสดงในพิกัดเชิงขั้วหรือที่เรียกว่าสมการเชิงขั้ว ในหลายกรณี สมการสามารถถูกกำหนดง่ายๆโดยนิยาม r ตามฟังก์ชันของ θ (r = f(θ) หรือ F(r, θ) = 0) เส้นโค้งที่ได้ประกอบด้วยจุดในรูปแบบ (r(θ), θ) และสามารถถือว่าเป็นเส้นกราฟของฟังกชันขั้ว r

รูปแบบสมมาตรที่ต่างกันสามารถอนุมานจากสมการของฟังกชันขั้ว r ถ้า r(−θ) = r(θ) เส้นโค้งจะสมมาตรกับรังสีแนวนอน (0°/180°) ถ้า r(π − θ) = r(θ) จะสมมาตรกับรังสีแนวตั้ง (90°/270°) และถ้า r(θ − α°) = r(θ) จะสมมาตรแบบหมุน α° ทวนเข็มนาฬิกา รอบขั้ว

เพราะธรรมชาติของวงกลมที่มีอยู่ในระบบพิกัดเชิงขั้ว เส้นโค้งหลายๆเส้นสามารถอธิบายโดยสมการเชิงขั้วง่ายๆ เพราะว่ารูปแบบในพิกัดคาร์ทีเซียนของเส้นเหล่านั้นเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมาก เส้นโค้งที่เรารู้จักกันดีได้แก่กลีบกุหลาบ, วงก้นหอย, ริบบิ้น, ลีมาซอง และ หัวใจ

วงกลม

 

วงกลมตามสมการ r (θ) = 1

โดยทั่วไปสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (r₀, φ) และรัศมี a คือ

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,}$ 

สมการนี้สามารถทำให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นได้หลายทางโดยปรับเปลี่ยนให้เข้าสู่กรณีเฉพาะ เช่นสมการ

${\displaystyle r(\theta )=a\,}$ 

สำหรับวงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ขั้วและรัศมี a

เส้นตรง

เส้นรัศมี (ที่วิ่งผ่านขั้ว) แทนด้วยสมการ

${\displaystyle \theta =\varphi \,}$ ,

เมื่อ φ คือมุมของการยกตัวของเส้น; φ = arctan m เมื่อ m คือความชันของเส้นในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เส้นตรงที่ไม่ใช่รัศมีที่ตัดกับรัศมี θ = φ ตั้งฉากที่จุด (r₀, φ) มีสมการดังนี้

${\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )\,}$ 

กลีบกุหลาบ

 

กลีบกุหลาบตามสมการ r(θ) = 2 sin 4θ

กลีบกุหลาบเป็นเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี ที่มองดูเหมือนกลีบดอกไม้ สามารถแสดงแทนในรูปสมการเชิงขั้วทั่วไปดังนี้

${\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,}$ 

สำหรับทุกๆค่าคงที่ φ₀ (รวมถึงค่า 0) ถ้า k คือจำนวนเต็ม สมการจะสร้างกลีบดอกไม้ k กลีบถ้า k คือ จำนวนคี่ หรือ 2k กลีบถ้า k คือจำนวนคู่ ถ้า k คือเลขเศษส่วนแต่ไม่ใช่จำนวนเต้ม เส้นโค้งจากสมการอาจเป็นรูปกลีบดอกไม้แต่กลีบอาจจะซ้อนทับกัน จากที่กล่าวมาข้างต้นทำให้สมการนี้ไม่สามารถกำหนดกลีบดอกไม้เป็นเป็น 2, 6, 10, 14, และอื่นๆ กลีบได้ ตัวแปร a จะแทนความยาวของกลีบดอกไม้

วงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีส

 

แขนมุมของวงก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสตามสมการ r(θ) = θ เมื่อ 0 < θ < 6π

เส้นโค้งก้นหอยแบบอาร์คีมีดีสเป็นวงก้นหอยที่ถูกค้นพบโดยอาร์คิมิดีส ซึ่งสามารถแทนได้ด้วยสมการเชิงขั้ว

${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .\,}$ 

จำนวนเชิงซ้อน

 

ภาพแสดงเลขเชิงซ้อน z ลงจุดบนระนาบเชิงซ้อน

 

ภาพแสดงเลขเชิงซ้อนลงจุดบนระนาบเชิงซ้อนเมื่อใช้สูตรของออยเลอร์

ทุกๆจำนวนเชิงซ้อนสามารถแทนได้ด้วยจุดในระนาบเชิงซ้อน ดังนั้นจึงสามารถแสดงด้วยจุดในพิกัดคาร์ทีเซียน (เรียกว่าแบบมุมฉากหรือแบบคาร์ทีเซียน) หรือจุดในพิกัดเชิงขั้ว (เรียกว่าแบบเชิงขั้ว)

เลขเชิงซ้อน z สามารถแทนในรูปแบบมุมฉากดังนี้

${\displaystyle z=x+iy\,}$ 

เมื่อ i คือหน่วยจินตภาพ หรือสามารถเลือกเขียนในแบบเชิงขั้ว (ตามสูตรการแปรผันข้างบน) ดังนี้

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )}$ 

และลดรูปเป็น

${\displaystyle z=re^{i\theta }\,}$ 

เมื่อ e คือตัวเลขของออยเลอร์ซึ่งสมมูลตามที่แสดงโดยสูตรของออยเลอร์ (มุม θ ถูกแสดงในหน่วยเรเดียน)

สำหรับการคูณ, การหาร, และการยกกำลังของเลขเชิงซ้อน ทั่วไปแล้วจะกระทำในแบบเชิงขั้วมากกว่าแบบมุมฉาก จากกฎของการยกกำลัง:

• การคูณ:

${\displaystyle r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})}\,}$ 

• การหาร:

${\displaystyle {\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})}\,}$ 

• การยกกำลัง (สูตรของเดอ มัวฟ์):

${\displaystyle (re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }\,}$ 

แคลคูลัส

แคลคูลัสสามารถประยุกต์สมการไปใช้พิกัดเชิงขั้วได้

พิกัดมุม θ ถูกแสดงในเรเดียนตลอดจนภาคตัดนี้ ซึ่งเป็นทางเลือกหนึ่งในการทำแคลคูลัส

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

ให้ x = r cos(θ) และ y = r sin(θ) ซึ่งได้จากความสัมพันธ์ของพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดเชิงขั้ว ให้ฟังก์ชัน u(x,y) ตามสมการ

${\displaystyle r{\tfrac {\partial u}{\partial r}}=r{\tfrac {\partial u}{\partial x}}{\tfrac {\partial x}{\partial r}}+r{\tfrac {\partial u}{\partial y}}{\tfrac {\partial y}{\partial r}},}$ 

${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial \theta }}={\tfrac {\partial u}{\partial x}}{\tfrac {\partial x}{\partial \theta }}+{\tfrac {\partial u}{\partial y}}{\tfrac {\partial y}{\partial \theta }},}$ 

หรือ

${\displaystyle r{\tfrac {\partial u}{\partial r}}=r{\tfrac {\partial u}{\partial x}}\cos(\theta )+r{\tfrac {\partial u}{\partial y}}\sin(\theta )=x{\tfrac {\partial u}{\partial x}}+y{\tfrac {\partial u}{\partial y}},}$ 

${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial \theta }}=-{\tfrac {\partial u}{\partial x}}r\sin(\theta )+{\tfrac {\partial u}{\partial y}}r\cos(\theta )=-y{\tfrac {\partial u}{\partial x}}+x{\tfrac {\partial u}{\partial y}}}$ 

เพราะฉะนั้น จะได้สมการ:

${\displaystyle r{\tfrac {\partial }{\partial r}}=x{\tfrac {\partial }{\partial x}}+y{\tfrac {\partial }{\partial y}}\,}$ 

${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial \theta }}=-y{\tfrac {\partial }{\partial x}}+x{\tfrac {\partial }{\partial y}}}$ 

หาความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งเชิงขั้ว r(θ) ในทุกๆจุดที่ให้ เส้นโค้งนั้นอยู่ในรูประบบสมการอิงตัวแปรเสริม

${\displaystyle x=r(\theta )\cos \theta \,}$ 

${\displaystyle y=r(\theta )\sin \theta \,}$ 

ทำอนุพันธ์ในเทอมของ θ ทั้งสองสมการ

${\displaystyle {\frac {dx}{d\theta }}=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \,}$ 

${\displaystyle {\frac {dy}{d\theta }}=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta \,}$ 

หารสมการที่สองด้วยสมการแรกให้ความชันคาร์ทีเซียนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (r, r(θ)):

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}}$ 

แคลคูลัสเวกเตอร์

แคลคูลัสเวกเตอร์สามารถใช้กับพิกัดเชิงขั้วได้ด้วยเช่นกัน ให้ ${\displaystyle \mathbf {r} }$  เป็นเวกเตอร์ตำแหน่ง (rcos(θ) rsin(θ)), r และ θ ขึ้นกับเวลา t

ใช้เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=(\cos(\theta ),\sin(\theta ))}$ 

ในทิศทางของ r และ

${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}=(-\sin(\theta ),\cos(\theta ))}$ 

ที่มุมฉากถึง r อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของตำแหน่งเป็น

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$ 

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}\quad {\dot {\overbrace {r^{2}{\dot {\theta }}} }}\quad {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ 

การเชื่อมโยงกับพิกัดทรงกลมและกระบอก

ระบบพิกัดเชิงขั้วสามารถขยายออกไปถึงสามมิติกับระบบพิกัดที่แตกต่งกันอีกสองระบบได้คือระบบพิกัดทรงกลมและระบบพิกัดกระบอก

การประยุกต์

ดูเพิ่ม

• ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

อ้างอิง

1. Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason (บ.ก.). Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
2. Friendly, Michael. "Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization". สืบค้นเมื่อ 2006-09-10.
3. T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine, Elsevier, p. 169, ISBN 0444503285
4. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Abu Arrayhan Muhammad ibn Ahmad al-Biruni", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
5. David A. King (1996), "Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping", in Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 1, pp. 128–184 [153], Routledge, London and New York
6. Coolidge, Julian (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly. 59: 78–85. doi:10.2307/2307104.
7. Boyer, C. B. (1949). "Newton as an Originator of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly. 56: 73–78. doi:10.2307/2306162.
8. Miller, Jeff. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". คลังข้อมูลเก่า เก็บจาก แหล่งเดิม เมื่อ 1999-10-03. สืบค้นเมื่อ 2006-09-10.
9. Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. p. 324.
10. Serway, Raymond A. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X. Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
11. "Polar Coordinates and Graphing" (PDF). 2006-04-13. สืบค้นเมื่อ 2006-09-22. Check date values in: |date= (help)
12. Lee, Theodore (2005). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry (Fourth Edition ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0534402305. Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)CS1 maint: extra text (link)
13. Stewart, Ian (1983). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). Cambridge University Press. ISBN 0521287634. Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
14. Torrence, Bruce Follett (1999). The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. ISBN 0521594618. Unknown parameter |coauthors= ignored (|author= suggested) (help)
15. Claeys, Johan. "Polar coordinates". สืบค้นเมื่อ 2006-05-25.
16. Smith, Julius O. (2003). "Euler's Identity". Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. สืบค้นเมื่อ 2006-09-22.
17. Husch, Lawrence S. "Areas Bounded by Polar Curves". สืบค้นเมื่อ 2006-11-25.
18. Lawrence S. Husch. "Tangent Lines to Polar Graphs". สืบค้นเมื่อ 2006-11-25.