ฟังก์ชันบ่งชี้

ฟังก์ชันบ่งชี้ (อังกฤษ: indicator function) หรือบางครั้งเรียกว่า ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (อังกฤษ: Caracteristic function) คือฟังก์ชันที่นิยามบนเซต X ซึ่งบ่งชี้ว่าสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งจะเป็นสมาชิกของเซตย่อย A ใน X หรือไม่ โดยให้ค่าเป็น 1 ถ้าสมาชิกตัวนั้นอยู่ในเซต A หรือให้ค่าเป็น 0 ถ้าสมาชิกตัวนั้นไม่อยู่ในเซต A แต่ยังคงอยู่ในเซต X

ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซต A ซึ่งเป็นเซตย่อยของเซต X แสดงค่าด้วยสีแดง

นิยาม

ฟังก์ชันบ่งชี้ของเซตย่อย A ของเซต X คือฟังก์ชัน

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:X\to \{0,1\}}$ 

นิยามโดย

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if}}\ x\in A\\0&{\mbox{if}}\ x\notin A\end{cases}}}$ 

สัญกรณ์ที่ใช้อาจพบเป็นอย่างอื่นเช่น

• [x ∈ A] เป็นสัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมของอิเวอร์สัน
• χ_A (x) อักษรกรีก ไค (χ) เป็นอักษรตัวแรกจากรากศัพท์ภาษากรีกของคำว่า characteristic (ลักษณะเฉพาะ) แต่การใช้สัญกรณ์นี้อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในการวิเคราะห์คอนเวกซ์
• I_A (x) อักษรละติน ไอ (I) ใช้แทนความหมายของ indicator (ตัวบ่งชี้) แต่การใช้สัญกรณ์นี้หรือ 1_A (x) อาจทำให้สับสนกับฟังก์ชันเอกลักษณ์ (โปรดสังเกตว่าเป็นตัวหนา)
• หรือแม้แต่เขียนเพียงแค่ A (x)

สมบัติพื้นฐาน

การจับคู่ที่เกี่ยวข้องกับเซตย่อย A ของ X ไปยังฟังก์ชันบ่งชี้ของมัน 1_A มีลักษณะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งเรนจ์คือเซตของฟังก์ชัน f : X → {0, 1}

ถ้า A และ B ต่างก็เป็นเซตย่อยของ X จะได้ว่า (จุด · หมายถึงการคูณ)

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}}$ 

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}}$ 

ส่วนเติมเต็มของฟังก์ชันบ่งชี้ของ A ซึ่งก็คือ A^C จะได้ว่า

${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}}$ 

ในกรณีทั่วไป ถ้าหาก A₁, …, A_n เป็นการรวบรวมเซตย่อยของ X สำหรับค่า x ∈ X ดังนั้น

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$ 

จะเป็นผลคูณระหว่าง 0 และ/หรือ 1 หลายตัว ผลคูณนี้จะมีค่าเท่ากับ 1 ถ้าหาก x ไม่อยู่ในเซตย่อย A_k ใด ๆ เลย เพราะตัวคูณทุกตัวเป็น 1 ทั้งหมด หรือมิเช่นนั้นแล้วก็จะเป็น 0 เพราะมีตัวคูณอย่างน้อยหนึ่งตัวที่เป็น 0 จึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}}$ 

กระจายผลคูณทางด้านซ้าย

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\ldots ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$ 

เมื่อ | F | คือภาวะเชิงการนับของ F สูตรนี้คือรูปแบบหนึ่งของหลักการการเพิ่มเข้า-ตัดออก

ฟังก์ชันบ่งชี้เป็นเครื่องมือสำคัญอย่างหนึ่งที่มีประโยชน์ในเรื่องคณิตศาสตร์เชิงการจัด ดังที่ให้ตัวอย่างไว้แล้วก่อนหน้านี้ สัญกรณ์นี้ถูกใช้ในแขนงวิชาอื่นเช่นกัน ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีความน่าจะเป็น ถ้าให้ X เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นที่มีเมเชอร์ความน่าจะเป็น P และ A เป็นเซตหาเมเชอร์ได้แล้ว 1_A จะกลายเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งมีค่าคาดหมายเท่ากับความน่าจะเป็นของ A ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\mathbb {P} =\int _{A}d\mathbb {P} =\operatorname {P} (A)}$ 

เอกลักษณ์นี้ใช้ในการพิสูจน์อย่างง่ายในอสมการของมาร์คอฟ

ในกรณีอื่นเช่นทฤษฎีอันดับ ตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้อาจมีการนิยามขึ้นได้ สิ่งนี้มักเรียกว่า ฟังก์ชันโมเบียสทั่วไป ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของตัวผกผันของฟังก์ชันบ่งชี้ในทฤษฎีจำนวนมูลฐาน (ฟังก์ชันโมเบียส)

มัชฌิม ความแปรปรวน และความแปรปรวนร่วมเกี่ยว

กำหนดให้ปริภูมิความน่าจะเป็น (Ω, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ , P) ซึ่ง A ∈ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  และกำหนดตัวแปรสุ่มบ่งชี้ 1_A : Ω → R ซึ่งนิยามโดย 1_A (ω) = 1 เมื่อ ω ∈ A สำหรับกรณีอื่น 1_A (ω) = 0

มัชฌิม:	${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}$
ความแปรปรวน:	${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}$
ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว:	${\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}$

ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะในทฤษฎีเซตวิภัชนัย

ตามคณิตศาสตร์แบบฉบับ ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตให้ค่าเป็น 1 (เป็นสมาชิก) หรือ 0 (ไม่เป็นสมาชิก) เพียงเท่านั้น แต่ในทฤษฎีเซตวิภัชนัย ฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะถูกทำให้เป็นการวางนัยทั่วไป โดยให้ค่าเป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0, 1] หรือยิ่งไปกว่านั้นในพีชคณิตหรือโครงสร้างบางชนิด ฟังก์ชันเช่นนี้มักจะเรียกว่า ฟังก์ชันภาวะสมาชิก (membership function) ซึ่งเกี่ยวข้องกับเซตวิภัชนัย (fuzzy set) เซตวิภัชนัยเป็นการจำลองการเปลี่ยนแปลงเป็นระดับชั้นของดีกรีความเป็นสมาชิกในภาคแสดงซึ่งพบเห็นได้ในชีวิตจริงเช่น สูง-กลาง-ต่ำ ร้อน-อุ่น-เย็น-หนาว เป็นต้น

อ้างอิง

• Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.
• Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.
• Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.
• George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Computability and Logic, Cambridge University Press, Cambridge UK, ISBN 0-521-00758-5.
• Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
• Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174