สัจพจน์

ระวังสับสนกับ สัทพจน์

สัจพจน์ (อังกฤษ: axiom) หรือ มูลบท (อังกฤษ: postulate) เป็นคำศัพท์ที่ใช้ในวิชา คณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ หมายถึงข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ซึ่งตรงข้ามกับคำว่า "ทฤษฎีบท" ซึ่งจะถูกยอมรับว่าเป็นจริงได้ก็ต่อเมื่อมีการพิสูจน์ ดังนั้นสัจพจน์จึงถูกใช้เป็นจุดเริ่มต้นในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ และทฤษฎีบททุกอัน จะต้องอนุมาน (inference) มายังสัจพจน์ได้

ที่มาของคำ

คำว่า "สัจพจน์" มาจากคำ ἀξίωμα (axioma) ในภาษากรีกซึ่งแปลว่า "ยกให้มีค่ายิ่ง" หรือ "ต้องการอย่างยิ่ง" ซึ่งแผลงมาจากคำว่า ἄξιος (axsios) และ ἄγω (ago) ตามลำดับ โดยรากศัพท์เริ่มต้น ἄγω (ago) นั้นเป็นรากศัพท์ ในตระกูลภาษาก่อนอินโดยูโรเปียน ตรงกับคำว่า अजति (ago) ในภาษาสันสกฤต ซึ่งมีความหมายเหมือน กันคือ "การนำ" หรือ "การทำให้มีค่า" ต่อมานักปรัชญากรีกจึงใช้คำว่า axiom ในความหมายว่า ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

สำหรับคำว่า "สัจพจน์" เกิดจากการสมาสคำว่า "สจฺจ" ซึ่งแปลว่า "ความจริงแท้" กับ "พจฺน" ซึ่งแปลว่า "ข้อความ" "คำพูด" สัจพจน์จึงแปลว่า "ข้อความที่เป็นความจริงแท้" ส่วน "มูลบท" เกิดจากการสมาสคำว่า "มูล" ซึ่งแปลว่า "พื้นฐาน" กับ "บท" ซึ่งแปลว่า "ข้อความ" จึงแปลได้ว่า "ข้อความที่เป็นพื้นฐาน"

ประวัติ

กรีกโบราณ

การให้เหตุผลแบบนิรนัย ซึ่งเป็นหลักการสำคัญในคณิตศาสตร์ ยุคปัจจุบันนั้น ถูกคิดค้นขึ้นมาโดย นักปรัชญากรีกโบราณอย่างเป็นระบบ กระบวนการให้เหตุผลแบบนิรนัย เน้นการแสวงหาความรู้จากการอนุมานข้อมูลตั้งต้นหรือความรู้เดิม ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีความรู้ชุดหนึ่งที่ได้รับ การยอมรับมาก่อนอยู่แล้วจึงจะสามารถอนุมานไปยังความรู้อื่นๆ ได้ นักปรัชญากรีกโบราณ จึงเรียกความรู้ชุดที่เป็นสมมติฐานพื้นฐานนี้ว่า "สัจพจน์" ซึ่งได้รับการยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ และ ทฤษฎีบท อื่นจะต้องได้รับการพิสูจน์บนพื้นฐานของ "สัจพจน์" เหล่านี้ แต่อย่างไรก็ดี การตีความความรู้ทางคณิตศาสตร์ จากโบราณจนถึงปัจจุบันนั้นเปลี่ยนไป จึงทำให้ชุด "สัจพจน์" พื้นฐานทางคณิตศาสตร์จากยุคอริสโตเติล และ ยูคลิดเปลี่ยนไปเล็กน้อย

ชาวกรีกโบราณจัดให้ ตรีโกณมิติ เป็นเพียงแค่ส่วนหนึ่งของวิทยาศาสตร์และเชื่อมโยง ทฤษฎีบททางตรีโกณมิติไปกับข้อเท็จจริงทางวิทยาศาสตร์ ชาวกรีกได้จัดระบบทางวิทยาศาสตร์โดยใช้การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นมาตรฐานเพื่อป้องกันข้อผิดพลาด เพื่อสร้างความรู้ใหม่และใช้สื่อสารระหว่างกัน จนในที่สุดอริสโตเติล ก็ได้ สรุปความรู้ต่างๆ ในยุคนี้เป็นระบบไว้อย่างละเอียดในหนังสือที่ชื่อว่า Posterior Analytics

แต่เดิมนั้นคำว่า "สัจพจน์" หรือ "axiom" ใช้ในความหมายว่า ประโยคที่คนส่วนใหญ่อ่านแล้วเข้าใจโดยไม่ต้องพิสูจน์ให้เห็น ยกตัวอย่างเช่น สมการที่ถูกลบด้วยค่าเท่ากันทั้งสองข้างก็ยังเป็นสมการอยู่ เป็นประโยคที่คนส่วนใหญ่เชื่อโดยไม่ต้องพิสูจน์ ในขณะที่ทฤษฎีบทอย่างทฤษฎีบทปีทากอรัส เป็นทฤษฎีบทที่ซับซ้อนจนต้องพิสูจน์จึงจะทำให้คนส่วนใหญ่เชื่อได้

หลังจากที่วิทยาศาสตร์แตกแขนงไปหลายๆ สาขาซึ่งอยู่บนพื้นฐานของสมมติฐานคนละชุด เรามักจะเรียกสมมติฐานพื้นฐานเฉพาะสาขานั้นๆ ว่า "มูลบท" ในขณะที่ "สัจพจน์" มักใช้ในความหมายของวิทยาศาสตร์โดยทั่วไป

เมื่อยูคลิด ได้รวบรวมระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์เอาไว้ในหนังสือ The Elements ได้รวบรวมมูลบท ซึ่งยูคลิด หมายถึงหลักการทางเรขาคณิต ที่สอดคล้องกับประสบการณ์และสามัญสำนึก กับ Common notions ซึ่งยูคลิด หมายถึงข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ไม่ต้องพิสูจน์หรือสัจพจน์นั่นเอง

มูลบททางเรขาคณิต

1. เราสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดได้
2. เราสามารถขยายส่วนของเส้นตรงไปเป็นเส้นตรงได้เส้นเดียว
3. เราสามารถอธิบายวงกลมด้วยจุดศูนย์กลางและรัศมี
4. มุมฉากทุกมุมย่อมเท่ากัน
5. ("มูลบทเส้นขนาน") หากเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงสอง เส้นแล้วผลรวมมุมภายในด้านเดียวกันน้อยกว่า 180° เส้นตรงสองเส้นนี้ จะตัดกันที่จุดใดจนหนึ่งในด้านที่มีผลรวมผลรวมมุมภายในด้านเดียวกันน้อยกว่า 180° นั้น

สัจพจน์

1. ค่าใดที่สมการกับสิ่งเดียวกันย่อมสมการกันเองด้วย
2. สมการที่ถูกบวกด้วยค่าเท่ากันทั้งสองข้างก็ยังเป็นสมการอยู่
3. สมการที่ถูกลบด้วยค่าเท่ากันทั้งสองข้างก็ยังเป็นสมการอยู่
4. สิ่งที่เป็นสิ่งเดียวกันย่อมเท่ากัน
5. ผลรวมของส่วนย่อยย่อมใหญ่กว่าส่วนย่อยนั้นๆ

คณิตตรรกศาสตร์

ในสาขาคณิตตรรกศาสตร์มีการแยกสัจพจน์ออกเป็นสองรูปได้แก่ "สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ" และ "สัจพจน์ที่ไม่เป็นตรรกะ" ซึ่งคล้ายคลึงกับการแยก "สัจพจน์" กับ "มูลบท" ในสมัยก่อนตามลำดับ

สัจพจน์ที่เป็นตรรกะ

ในภาษารูปนัยมีสูตรเชิงตรรกะตายตัวที่ถือว่าสมเหตุสมผลโดยสากล (Universally Valid) สูตรนี้จะสอดคล้องกับค่าความจริงทุกค่า โดยปกติแล้วการกำหนดสัจพจน์ที่เป็นตรรกะจะกำหนดให้มีจำนวนน้อยที่สุดที่เพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ในภาษาทั้งหมดได้ ยกเว้นแต่ตรรกะภาคแสดง (อังกฤษ: predicate logic) จะมีการเพิ่มสัจพจน์มากกว่าที่จำเป็น เพื่อพิสูจน์ค่าความจริงของประโยคที่ไม่เป็นสัจนิรันดร์ภายใต้เงื่อนไขที่รัดกุม

ตัวอย่าง

ตรรกศาสตร์เชิงประพจน์

ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ โดยปกติแล้วจะมีสูตรเชิงตรรกะที่กำหนดให้เป็นสัจพจน์ดังนี้ เมื่อให้ ${\displaystyle \phi }$ , ${\displaystyle \chi }$ , and ${\displaystyle \psi }$  เป็นสูตรเชิงตรรกะใดๆ ในภาษารูปนัย ภายใต้ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์เพียงสองอันได้แก่ "${\displaystyle \neg }$ " นิเสธ (อังกฤษ: negation) ของประพจน์ และ "${\displaystyle \to \,}$ " เงื่อนไข (ตรรกศาสตร์) ที่เชื่อมประพจน์จากเหตุไปสู่ผล:

1. ${\displaystyle \phi \to (\psi \to \phi )}$ 
2. ${\displaystyle (\phi \to (\psi \to \chi ))\to ((\phi \to \psi )\to (\phi \to \chi ))}$ 
3. ${\displaystyle (\lnot \phi \to \lnot \psi )\to (\psi \to \phi ).}$ 

แต่ละรูปแบบล้วนเป็น เค้าร่างสัจพจน์ (อังกฤษ: Axiom Schema) ซึ่งสามารถผลิตสัจพจน์อื่นได้จำนวนไม่จำกัด ยกตัวอย่างเช่นให้ ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$  ${\displaystyle C}$  แทน ตัวแปรเชิงประพจน์ ใดๆ ${\displaystyle A\to (B\to A)}$  และ ${\displaystyle (A\to \lnot B)\to (C\to (A\to \lnot B))}$  ก็ล้วนแต่เป็นผลมาจากเค้าร่างสัจพจน์ที่ 1 ดังนั้นจึงประโยคทั้งสองจึงเป็นสัจพจน์ไปด้วย

เค้าร่างสัจพจน์ทั้งสามเมื่อรวมกับ modus ponens นั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ในตรรกศาสตร์เชิงประพจน์ทั้งหมดได้ แต่การหยิบแค่สองเค้าร่างนั้นไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมด จำนวนของสัจพจน์ของตรรกเชิงประพจน์ดังกล่าวจึงน้อยที่สุดแล้วที่จะพิสูจน์สัจนิรันดร์ทั้งหมดได้ นอกจากนั้นแล้ว เรายังสามารถสร้างเค้าร่างสัจพจน์อื่นๆ ภายใต้ตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์ได้อย่างอิสระจากเค้าร่างสัจพจน์ดังกล่าว และเค้าร่างสัจพจน์นี้ยังใช้ในตรรกศาสตร์ภาคแสดงแต่ต้องเพิ่มสัจพจน์ที่เป็นตรรกะอื่นๆ ลงไป เช่นสัจพจน์ของตัวบ่งปริมาณ เป็นต้น

คณิตตรรกศาสตร์

สัจพจน์แห่งความเท่ากัน ให้ ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$  เป็นภาษาอันดับหนึ่ง และ ${\displaystyle x}$  เป็นตัวแปรใดๆ บนภาษานั้น จะได้ว่า

${\displaystyle x=x\,}$ 

เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล

นั่นหมายความว่าสำหรับตัวแปร ${\displaystyle x}$  ใดๆ การเขียน ${\displaystyle x=x}$  ย่อมเป็นสัจพจน์เสมอ

เค้าร่างสัจพจน์สำหรับตัวอย่างสากล ให้ ${\displaystyle \phi \,}$  เป็นสูตรบน${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$  ซึ่งเป็นภาษาอันดับหนึ่ง ตัวแปร${\displaystyle x}$  และเทอม ${\displaystyle t}$  ซึ่งสามารถ แทนค่าได้บน ${\displaystyle x}$  ใน ${\displaystyle \phi }$  จะได้ว่า

${\displaystyle \forall x\,\phi \to \phi _{t}^{x}}$ 

เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล

โดยที่สัญลักษณ์ ${\displaystyle \phi _{t}^{x}}$  แทนสูตร ${\displaystyle \phi }$  เมื่อแทนสูตร ${\displaystyle t}$  ลงไปใน ${\displaystyle x}$  นั่นหมายความว่าเมื่อเราระบุว่า สำหรับทุกๆ x แล้วสูตร ${\displaystyle \phi _{t}^{x}}$  เป็นจริง ดังนั้น เมื่อแทนสูตร ${\displaystyle t}$  ลงไปใน ${\displaystyle \phi }$  ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะกว่าก็ย่อมเป็นจริงด้วย

เค้าร่างสัจพจน์สำหรับการมีอยู่จริงโดยทั่วไป ให้ ${\displaystyle \phi \,}$  เป็นสูตรบน${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$  ซึ่งเป็นภาษาอันดับหนึ่ง ตัวแปร${\displaystyle x}$  และเทอม ${\displaystyle t}$  ซึ่งสามารถ แทนค่าได้บน ${\displaystyle x}$  ใน ${\displaystyle \phi }$  จะได้ว่า

${\displaystyle \phi _{t}^{x}\to \exists x\,\phi }$ 

เป็นสูตรที่สมเหตุสมผล

อ้างอิง

1. Mendelson, "6. Other Axiomatizations" of Ch. 1
2. Mendelson, "3. First-Order Theories" of Ch. 2