−1

−1 (ลบหนึ่ง) เป็นจำนวนเต็มลบมากสุด ที่มากกว่า −2 แต่น้อยกว่า 0

← −2 −1 0 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → รายชื่อจำนวน — จำนวนเต็ม ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
จำนวนเชิงการนับ	ลบหนึ่ง
จำนวนเชิงอันดับที่	−1st (ที่ลบหนึ่ง)
ฐานสอง	-1
ฐานสาม	-1
ฐานสี่	-1
ฐานห้า	-1
ฐานหก	-1
ฐานแปด	-1
ฐานสิบสอง	-1
ฐานสิบหก	-1
ฐานยี่สิบ	-1
ฐานสามสิบหก	-1
เลขไทย	−๑
เลขจีน	负一，负弌，负壹
ฐานสอง (ไบต์)	S&M: 1000000012 2sC: 111111112
ฐานสิบหก (ไบต์)	S&M: 10116 2sC: FF16

−1 เป็นตัวผกผันการบวกของ 1 หมายความว่า เมื่อจำนวนนี้บวกกับ 1 แล้วจะได้เอกลักษณ์การบวกนั่นคือ 0

−1 สัมพันธ์กับเอกลักษณ์ของออยเลอร์นั่นคือ ${\displaystyle e^{i\pi }=-1\!}$

ในทางวิทยาการคอมพิวเตอร์ −1 มักใช้เป็นค่าเริ่มต้นของจำนวนเต็ม และใช้แสดงว่าตัวแปรดังกล่าวไม่มีข้อมูลที่เป็นประโยชน์

ลบหนึ่งมีสมบัติต่าง ๆ ที่คล้ายกับบวกหนึ่งแต่ต่างไปเพียงเล็กน้อย

สมบัติทางพีชคณิต

การคูณจำนวนใด ๆ กับ −1 เทียบเท่ากับการเปลี่ยนเครื่องหมายของจำนวนนั้น สิ่งนี้สามารถพิสูจน์โดยใช้กฎการกระจายและสัทพจน์ว่า 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ สำหรับ x ที่เป็นจำนวนจริงใด ๆ เราจะได้

${\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}$ 

เมื่อเราใช้ข้อเท็จจริงว่า จำนวนจริงใด ๆ คูณกับ 0 แล้วได้ 0 แสดงนัยโดยสมบัติการตัดออกจากสมการ

${\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}$ 

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}$ 

ดังนั้น (−1)·x คือตัวผกผันของ x ซึ่งก็มีค่าเท่ากับ −x นั่นเอง

กำลังสองของ −1

กำลังสองของ −1 นั่นก็คือ −1 คูณด้วย −1 เท่ากับ 1 ผลที่ตามมาคือ ผลคูณของจำนวนลบสองจำนวนจะได้จำนวนบวก

สำหรับการพิสูจน์เชิงพีชคณิตของผลลัพธ์ดังกล่าว เริ่มด้วยสมการ

${\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}$ 

สมการแรกปฏิบัติตามการพิสูจน์ในตอนแรก นิพจน์ตัวหลังปฏิบัติตามนิยามของ −1 ว่าเป็นตัวผกผันการบวกของ 1 จากนั้นใช้กฎการกระจายจะได้ว่า

${\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}$ 

สมการที่สองปฏิบัติตามข้อเท็จจริงว่า 1 คือเอกลักษณ์การคูณ จากนั้นบวกด้วย 1 ทั้งสองข้างของสมการสุดท้าย จะได้

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$ 

การให้เหตุผลด้านบนยังคงใช้ได้กับริงใด ๆ ก็ตาม ซึ่งเป็นมโนทัศน์ของพีชคณิตนามธรรมที่วางนัยทั่วไปจากจำนวนเต็มและจำนวนจริง

รากที่สองของ −1

จำนวนเชิงซ้อน i สอดคล้องกับ i² = −1 และสามารถถือได้ว่าเป็นรากที่สองค่าหนึ่งของ −1 จำนวนเชิงซ้อน x อีกจำนวนซึ่งสอดคล้องกับสมการ x² = −1 ก็คือ −i ส่วนพีชคณิตของควอเทอร์เนียน ซึ่งมีระนาบเชิงซ้อนด้วย สมการ x² = −1 จะมีคำตอบมากมายเป็นอนันต์

การยกกำลังจำนวนลบ

การยกกำลังด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์สามารถขยายไปสู่จำนวนเต็มลบได้ เรากำหนดนิยามไว้ว่า x⁻¹ = 1/x หมายความว่า เรานิยามให้การยกกำลังจำนวนใดจำนวนหนึ่งด้วย −1 จะได้ผลอย่างเดียวกับการหาส่วนกลับของมัน นิยามนี้ก็ได้ขยายไปสู่จำนวนเต็มลบ ทำให้กฎ x^ax^b = x^{(a + b)} ยังคงอยู่เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มใด ๆ

การยกกำลังจำนวนเต็มลบก็สามารถขยายไปบนสมาชิกที่ผกผันได้ของริงใดริงหนึ่ง โดยนิยามให้ x⁻¹ เป็นตัวผกผันการคูณของ x

−1 ที่ปรากฏถัดจากฟังก์ชันหรือเมทริกซ์นั้น มิได้หมายถึงการยกกำลังด้วย −1 แต่เป็นฟังก์ชันผกผันหรือเมทริกซ์ผกผัน ตัวอย่างเช่น f⁻¹(x) คือฟังก์ชันผกผันของ f(x), หรือ sin⁻¹(x) เป็นสัญกรณ์แบบหนึ่งของฟังก์ชันอาร์กไซน์ เป็นต้น

การแทนในคอมพิวเตอร์

ดูบทความหลักที่: การแทนจำนวนมีเครื่องหมาย

ระบบคอมพิวเตอร์ส่วนใหญ่แทนจำนวนเต็มลบโดยใช้ส่วนเติมเต็มสอง (two's complement) ในระบบเช่นนั้น −1 จะแทนด้วยค่าบิตทั้งหมดเป็น 1 ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มมีเครื่องหมาย (signed integer) ขนาด 8 บิตที่ใช้ส่วนเติมเต็มสอง จะแทน −1 ด้วยค่า "11111111" หรือ "FF" ในเลขฐานสิบหก ถ้าแปลค่านี้เป็นจำนวนเต็มไม่มีเครื่องหมาย (unsigned integer) บิตทั้งหมดจำนวน n บิตที่เป็น 1 จะหมายถึงค่า 2ⁿ − 1 ซึ่งเป็นค่ามากที่สุดที่ระบบ n บิตนั้นเก็บได้ จากตัวอย่างข้างต้น "11111111" ก็จะหมายถึง 2⁸ − 1 = 255

อ้างอิง

1. Mathematical analysis and applications By Jayant V. Deshpande, ISBN 1-84265-189-7
2. "Ask Dr. Math". Math Forum. สืบค้นเมื่อ 2012-10-14.