เซนทรอยด์

ในทางเรขาคณิต เซนทรอยด์ (อังกฤษ: centroid) หรือชื่ออื่นเช่น ศูนย์กลางเรขาคณิต (geometric center), แบรีเซนเตอร์ (barycenter) ของรูปร่าง X บนระนาบ คือจุดตัดของเส้นตรงทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง X ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่าๆ กัน หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมดที่อยู่ภายในรูปร่าง X นิยามนี้ขยายออกไปยังวัตถุใดๆ ที่อยู่ในปริภูมิ n มิติด้วย นั่นคือเซนทรอยด์คือจุดตัดของระนาบเกิน (hyperplane) ทั้งหมดที่แบ่งรูปร่าง X ออกเป็นสองส่วนตามโมเมนต์เท่าๆ กัน

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง

ในทางฟิสิกส์ เซนทรอยด์อาจหมายถึงศูนย์กลางเรขาคณิตของวัตถุดังที่กล่าวไปแล้ว หรืออาจหมายถึงศูนย์กลางมวลหรือศูนย์ถ่วงของวัตถุ ขึ้นอยู่กับบริบท หรือเรียกได้ว่าเป็นแนวโน้มสู่ส่วนกลางของจุดทั้งหมด ซึ่งชั่งน้ำหนักตามความหนาแน่นหรือน้ำหนักจำเพาะตามลำดับ

ในทางภูมิศาสตร์ เซนทรอยด์ของบริเวณหนึ่งบนพื้นผิวโลก ซึ่งเป็นภาพฉายตามแนวรัศมีไปบนพื้นผิว คือจุดกึ่งกลางโดยสมมติของพื้นที่บริเวณนั้น เรียกว่าศูนย์กลางภูมิศาสตร์ (geographical centre)

สมบัติ

เซนทรอยด์ของวัตถุทรงนูน (convex) จะอยู่ในวัตถุนั้นเสมอ สำหรับรูปสามเหลี่ยมจะเป็นจุดที่เส้นมัธยฐานทั้งสามตัดกันพอดี ส่วนวัตถุที่ไม่เป็นทรงนูน เซนทรอยด์อาจอยู่นอกวัตถุก็ได้ ตัวอย่างวัตถุเช่น แหวนหรือถ้วย เซนทรอยด์จะอยู่กึ่งกลางช่องว่างระหว่างวัตถุ

ถ้าหากเซนทรอยด์ได้ถูกนิยามขึ้นมาแล้ว จุดนั้นจะเป็นจุดตรึง (fixed point) สำหรับสมมิติ (isometry) ทั้งหมดในกรุปสมมาตร (symmetry group) โดยเฉพาะเซนทรอยด์ของวัตถุที่อยู่บนจุดตัดของระนาบเกินทั้งหมดของความสมมาตร เซนทรอยด์ของรูปทรงหลายชนิด (อาทิ รูปหลายเหลี่ยมปรกติ ทรงหลายหน้าปรกติ ทรงกระบอก รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน รูปวงกลม ทรงกลม รูปวงรี ทรงรี superellipse superellipsoid ฯลฯ) สามารถอธิบายได้ด้วยหลักการข้างต้น

ด้วยเหตุผลเดียวกัน เซนทรอยด์ของวัตถุที่สมมาตรเคลื่อนที่ (translational symmetry) จะไม่ถูกนิยาม (หรือวางอยู่นอกปริภูมิที่โอบล้อม) เพราะว่าการเคลื่อนที่นั้นไม่มีจุดตรึง

เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด

เซนทรอยด์ของเซตจำกัดของจุด ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}}$  ในเซต ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  คือ

${\displaystyle C={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}}}$ 

เซนทรอยด์จากการแยกทางเรขาคณิต

เซนทรอยด์ของรูปร่าง X บนระนาบ สามารถคำนวณได้จากการแบ่งรูปนั้นออกเป็นรูปร่างที่ง่ายกว่าเป็นส่วนๆ ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$  เป็นจำนวนจำกัด n ส่วน แล้วคำนวณหาเซนทรอยด์ย่อย ${\displaystyle C_{i}}$  กับพื้นที่ย่อย ${\displaystyle A_{i}}$  ของแต่ละส่วน เพื่อเข้าสูตรนี้

${\displaystyle C={\frac {\sum C_{i}A_{i}}{\sum A_{i}}}}$ 

สูตรนี้ก็สามารถใช้ได้บนวัตถุสามมิติ เว้นแต่เพียงว่า ${\displaystyle A_{i}}$  ควรจะเป็นปริมาตรของวัตถุย่อย ${\displaystyle X_{i}}$  แทนที่จะเป็นพื้นที่ และสูตรนี้ก็ยังใช้ได้บนเซตย่อยของ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$  สำหรับวัตถุ d มิติ โดยที่ ${\displaystyle A_{i}}$  จะถูกแทนที่ด้วยเมเชอร์ (measure) ของส่วนย่อยนั้น

สูตรนี้ก็ยังคงใช้ได้ถึงแม้ว่าจะมีบางส่วนทับซ้อน และ/หรือขยายออกไปนอกเซต X ซึ่งจะทำให้เมเชอร์ ${\displaystyle A_{i}}$  มีค่าเป็นบวกหรือลบ ในทางเช่นนั้นผลรวมทุกส่วนของ ${\displaystyle A_{i}}$  ที่โอบล้อมจุดที่กำหนด x จะเท่ากับ 1 เมื่อจุด x อยู่ในรูปร่าง X ส่วนกรณีอื่นจะเป็น 0

สูตรปริพันธ์

เซนทรอยด์ของเซตย่อย X ในเซต ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$  สามารถคำนวณได้ด้วยปริพันธ์

${\displaystyle C={\frac {\int xf(x)\ dx}{\int f(x)\ dx}}}$ 

เมื่อปริพันธ์นั้นครอบคลุมปริภูมิ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$  ทั้งหมด และ f คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ (characteristic function) ของเซตย่อยนั้น ซึ่งให้ค่าเป็น 1 หากอยู่ภายใน X และเป็น 0 หากอยู่ภายนอก (อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ไม่สามารถใช้ได้ถ้าวัตถุนั้นมีเมเชอร์เป็นศูนย์ หรือถ้าปริพันธ์ลู่ออก อย่างใดอย่างหนึ่ง)

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยมและทรงสี่หน้า

เซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านที่อยู่ตรงข้าม) เซนทรอยด์จะแบ่งเส้นมัธยฐานออกเป็นอัตราส่วน 2:1 ซึ่งเรียกได้ว่าเซนทรอยด์อยู่ที่ 1/3 ของส่วนสูง (ระยะตั้งฉากระหว่างด้านและมุมตรงข้าม) ดังรูปที่แสดงไว้ทางขวา

เซนทรอยด์จะเป็นศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยม ถ้าหากรูปสามเหลี่ยมนั้นสร้างขึ้นบนแผ่นวัสดุบางๆ อย่างเช่นแผ่นกระดาษหรือแผ่นโลหะ พิกัดคาร์ทีเซียนของเซนทรอยด์ คือมัชฌิมเลขคณิตของพิกัดของจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ ถ้าให้จุดยอดทั้งสามอยู่ที่ ${\displaystyle a=(x_{a},y_{a})}$ , ${\displaystyle b=(x_{b},y_{b})}$ , และ ${\displaystyle c=(x_{c},y_{c})}$  ดังนั้นเซนทรอยด์จะอยู่ที่

${\displaystyle C={\frac {1}{3}}(a+b+c)={\Big (}{\frac {1}{3}}(x_{a}+x_{b}+x_{c}),\ {\frac {1}{3}}(y_{a}+y_{b}+y_{c}){\Big )}}$ 

ผลที่คล้ายกันนี้ก็มีเช่นกันในทรงสี่หน้า เซนทรอยด์ของทรงสี่หน้าคือจุดตัดของส่วนของเส้นตรงทั้งหมดที่เชื่อมต่อจุดยอดกับเซนทรอยด์ของหน้าที่อยู่ตรงข้าม (ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม) ส่วนของเส้นตรงนี้จะถูกแบ่งโดยเซนทรอยด์ด้วยอัตราส่วน 3:1 ด้วยผลเช่นนี้สามารถเกิดกับกรณีทั่วไปของซิมเพล็กซ์ n มิติ ถ้าเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์คือ ${\displaystyle {v_{0},v_{1},...,v_{n}}}$  เราจะพิจารณาว่าจุดยอดเหล่านี้เป็นเวกเตอร์ และเซนทรอยด์จะอยู่ที่

${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}}$ 

isogonal conjugate ของเซนทรอยด์ของรูปสามเหลี่ยม คือ symmedian point

เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยม

เซนทรอยด์ของรูปหลายเหลี่ยมที่ด้านไม่ตัดกัน ซึ่งนิยามโดยจุดยอด ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$  จำนวน n จุด สามารถคำนวณได้ดังนี้

พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคือ

${\displaystyle A=3{\frac {1}{2}}\sum _{i=4}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$ 

และเซนทรอยด์จะอยู่ที่ ${\displaystyle C=3(C_{x},C_{y})}$  เมื่อ

${\displaystyle C_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$ 

${\displaystyle C_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i})}$ 

สำหรับสูตรเหล่านี้ จุดยอด ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$  จะถูกกำหนดให้เป็น ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$  ซึ่งก็หมายถึงจุดเดียวกัน

แหล่งข้อมูลอื่น

• Encyclopedia of Triangle Centers by Clark Kimberling. The centroid is indexed as X(2).
• Triangle centers by Antonio Gutierrez from Geometry Step by Step from the Land of the Incas.
• Characteristic Property of Centroid at cut-the-knot
• Barycentric Coordinates at cut-the-knot
• Online Tool to Compute Center of Mass bounded by f(x) and g(x)
• Interactive animations showing Centroid of a triangle and Centroid construction with compass and straightedge

1. Calculating the area and centroid of a polygon