ฟังก์ชันทั้งหมดที่กล่าวมาไม่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แต่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นช่วง ซึ่ง ⌊x⌋ กับ ⌈x⌉ เป็นฟังก์ชันคงตัวในแต่ละช่วง และไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็ม {x} ก็ไม่ต่อเนื่องที่จำนวนเต็มเช่นกัน แต่ไม่ได้เป็นฟังก์ชันคงตัว ส่วน x mod y เป็นฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องที่พหุคูณของ y ถ้าให้ y มีค่าคงตัว
⌊x⌋ ถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบน (upper semi-continuous function) และ ⌈x⌉ กับ {x} เป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่าง (lower semi-continuous function) ส่วน x mod y จะเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างเมื่อ y เป็นจำนวนบวก และเป็นฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องบนเมื่อ y เป็นจำนวนลบ
สำหรับ x mod y โดยที่ y มีค่าคงตัว มีการกระจายฟูรีเยดังนี้
ด้วยสมบัติที่ว่า {x} = x mod 1 ดังนั้นจะได้
ในจุดที่เกิดความไม่ต่อเนื่อง อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งที่เป็นค่าเฉลี่ยของลิมิตทางซ้ายและทางขวา สำหรับ x mod y ซึ่ง y มีค่าคงตัว อนุกรมฟูรีเยจะลู่เข้า y / 2 ที่ตำแหน่งพหุคูณของ y ส่วนในจุดอื่น ๆ ที่มีความต่อเนื่อง อนุกรมจะลู่เข้าค่าจริง
จากสูตรที่ว่า {x} = x − ⌊x⌋ จึงสรุปได้ว่า
การประยุกต์ใช้
ภาคเศษส่วน
ภาคเศษส่วน (fractional part) เป็นฟังก์ชันฟันเลื่อย เขียนแทนด้วย {x} สำหรับทุกจำนวนจริง x ซึ่งนิยามโดยสูตรนี้
ภาคเศษส่วนของ x จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 กับ 1 นั่นคือ
ถ้า x เป็นจำนวนบวก ฟังก์ชันพื้นของ x สามารถสรุปได้อย่างง่ายว่า เป็นค่า x ที่ตัดตัวเลขหลังจุดทศนิยมออกไป ดังนั้นภาคเศษส่วนของ x ก็คือค่า x ที่ตัดตัวเลขหน้าจุดทศนิยมออกไป
มอดุโล
การดำเนินการมอดุโล (modulo) เขียนแทนด้วย x mod y สำหรับจำนวนจริง x และ y ทบ.เศษเหลือจีนโต๋ตูดดำโดยที่ y ≠ 0 นิยามโดยสูตรนี้
ผลลัพธ์ของ x mod y จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง y นั่นคือ
ถ้า x เป็นจำนวนเต็มและ y เป็นจำนวนเต็มบวก
ฟังก์ชัน x mod y โดยที่ y เป็นค่าคงตัว จะเป็นฟังก์ชันฟันเลื่อยเช่นกัน
กำหนดให้ φ (n) = n−s สำหรับส่วนจริงของ s ที่มากกว่า 1 และกำหนดให้ a, b เป็นจำนวนเต็ม ซึ่ง b มีค่าเข้าใกล้อนันต์ จะได้
สูตรนี้สามารถใช้ได้กับทุกค่าของ s ที่มีส่วนจริงมากกว่า −1 (ยกเว้นเมื่อ s = 1 เพราะจุดนั้นเป็นโพล) และเมื่อรวมเข้ากับการกระจายฟูรีเยของ {x} จะทำให้สามารถใช้ฟังก์ชันซีตาได้กับทั้งระนาบเชิงซ้อน และใช้สำหรับพิสูจน์สมการเชิงฟังก์ชัน
สำหรับ s = σ + i t ภายในแถบวิกฤต (critical strip) เช่น 0 < σ < 1 Balthasar van der Pol ได้ใช้สูตรนี้เพื่อสร้างคอมพิวเตอร์แอนะล็อกสำหรับคำนวณรากของฟังก์ชันซีตาเมื่อ ค.ศ. 1974
สูตรเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ
n จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ
กำหนดให้ r > 1 เป็นจำนวนเต็ม, pn คือจำนวนเฉพาะตัวที่ n และ α ซึ่งนิยามโดย
J.W.S. Cassels (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press.
Crandall, Richard; Pomeramce, Carl (2001), Prime Numbers: A Computational Perspective, New York: Springer, ISBN0-387-04777-9 Check |isbn= value: checksum (help)
Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics, Reading Ma.: Addison-Wesley, ISBN0-201-55802-5
Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN978-0198531715
Nicholas J. Higham, Handbook of writing for the mathematical sciences, SIAM. ISBN 0898714206, p. 25
ISO/IEC. ISO/IEC 9899::1999 (E) : Programming languages — C (2nd ed), 1999; Section 6.3.1.4, p. 43.
Iverson, Kenneth E. (1962), A Programming Language, Wiley
Lemmermeyer, Franz (2000), Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, ISBN3-540-66967-4 Check |isbn= value: checksum (help)
Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN0-387-94457-5
Michael Sullivan. Precalculus, 8th edition, p. 86
Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (2nd ed.), Oxford: Oxford U. P., ISBN0-19-853369-1
งก, นพ, นและฟ, งก, นเพดาน, ในทางคณ, ตศาสตร, และว, ทยาการคอมพ, วเตอร, งก, นพ, งกฤษ, floor, function, อฟ, งก, นท, บค, จำนวนจร, งไปย, งจำนวนเต, มท, อย, อนหน, นค, floor, เป, นจำนวนเต, มมากท, ดท, ไม, มากกว, กราฟของฟ, งก, นพ, กราฟของฟ, งก, นเพดาน, วน, งก, นเพดาน, งก. inthangkhnitsastraelawithyakarkhxmphiwetxr fngkchnphun xngkvs floor function khuxfngkchnthicbkhucanwncringipyngcanwnetmthixyukxnhna nnkhux floor x epncanwnetmmakthisudthiimmakkwa x 1 krafkhxngfngkchnphun krafkhxngfngkchnephdan swn fngkchnephdan xngkvs ceiling function khuxfngkchnthicbkhucanwncringipyngcanwnetmthixyuthdcakcanwnnn nnkhux ceiling x khuxcanwnetmnxythisudthiimnxykwa x 2 krafkhxngfngkchnphunaelaephdanthnghmd milksnakhlayfngkchnkhnbnid aetimichfngkchnkhnbnid enuxngcakmichwngbnaekn x epncanwnxnnt enuxha 1 sykrn 1 1 twxyang 2 niyamaelasmbti 2 1 karethiybetha 2 2 khwamsmphnthrahwangfngkchn 2 3 phlhar 2 4 phlharsxn 2 5 khwamtxenuxng 2 6 karkracayxnukrm 3 karprayuktich 3 1 phakhessswn 3 2 mxduol 3 3 karaelkepliynkalngsxng 3 4 karpdess 3 5 canwnhlk 3 6 twprakxbkhxngaefkthxeriyl 3 7 ladbbitti 3 8 khakhngtwxxyelxr aemsechorni 3 9 fngkchnsitakhxngrimnn 3 10 sutrekiywkbcanwnechphaa 3 11 khxpyhathiaekid 3 12 khxpyhathiaekimid 4 karichnganinkhxmphiwetxr 4 1 phasaopraekrm 5 echingxrrth 6 xangxing 7 duephimsykrn aekikhekasidaenanasykrnwngelbehliym x sahrbaethnfngkchnphun inkarphisucnkaraelkepliynkalngsxng quadratic reciprocity khxngekhaemux kh s 1808 3 singniepnbrrthdthaninkhnitsastreruxyma 4 cnkrathngxiewxrsn Kenneth E Iverson idaenanaihichchux floor aela ceiling phrxmkbthngaenanasykrn x aela x sahrbfngkchnthngsxngtamladb ephuxekhiynopraekrmphasaexphiaexlemux kh s 1962 5 6 pccubnsykrnthngsxngaebbkyngmikarichknxyuinkhnitsastr sahrbbthkhwamnicaxthibaydwysykrnkhxngxiewxrsnfngkchnphunxaceriykwaepn fngkchncanwnetmmaksud greatest integer function hrux xxngethiyr entier hmaythungcanwnetminphasafrngess aelasahrbfngkchnphunkhxngcanwnthiimepnlb x xaceriykwaepn phakhcanwnetm integral part khxng x inphasaopraekrmxunthinxkehnuxcakphasaexphiaexl mkcaichsykrnwa ENTIER i x i phasaxlkxl floor i x i hruximk int i x i phasasi siphlsphls 7 inthangkhnitsastr sykrnsahrbfngkchnnisamarthekhiynepnwngelbehliymtwhnahruxsxnsxngkid x displaystyle x 8 swnfngkchnephdanxaceriykwaepn fngkchncanwnetmnxysud least integer function inphasaopraekrmxunmkcaichaethndwy ceil i x i hrux ceiling i x i inthangkhnitsastr misykrnxikaebbhnungkhuxwngelbehliymtwhnahruxsxnsxngthihnxxk x displaystyle x hruxichephiyngaekhwngelbehliymthrrmdahnxxkkid x 9 twxyang aekikh kha x fngkchnphun x fngkchnephdan x phakhessswn x 2 7 2 3 0 7 2 7 3 2 0 3 2 2 2 012 5 2 4 2 3 2 5 0 4sahrbniyamkhxngphakhessswn duinhwkhxthdipniyamaelasmbti aekikhinsutrkhnitsastrtxipni smmtiih x y epncanwncring k m n epncanwnetm aela Z displaystyle mathbb Z khuxestkhxngcanwnetm xnprakxbdwycanwnetmbwk canwnetmlb aelasuny fngkchnphunaelaephdansamarthniyamiddwyestdngni x min n Z n x displaystyle lfloor x rfloor min n in mathbb Z mid n leq x dd x max n Z n x displaystyle lceil x rceil max n in mathbb Z mid n geq x dd enuxngcakchwngkhrungepidkhwamyawhnunghnwy camicanwnetmephiynghnungtwinchwngnn dngnnsahrbcanwncring x id camicanwnetm m aela n thithaih x 1 lt m x n lt x 1 displaystyle x 1 lt m leq x leq n lt x 1 dd eracaid x m displaystyle lfloor x rfloor m aela x n displaystyle lceil x rceil n sungkthuxwaepnniyamxyanghnungechnknnxkcaknikyngmi x x x displaystyle x x lfloor x rfloor aela x mod y x y x y displaystyle x bmod y x y left lfloor frac x y right rfloor karethiybetha aekikh sutrehlanisamarthichthxdfngkchnphunaelafngkchnephdanxxkcakniphcn 10 x n n x lt n 1 x n n 1 lt x n x n x 1 lt n x x n x n lt x 1 displaystyle begin aligned lfloor x rfloor n amp iff amp n amp leq x lt n 1 lceil x rceil n amp iff amp n 1 amp lt x leq n lfloor x rfloor n amp iff amp x 1 amp lt n leq x lceil x rceil n amp iff amp x amp leq n lt x 1 end aligned dd aelasahrbxsmkar x lt n x lt n n lt x n lt x x n x n n x n x displaystyle begin aligned x lt n amp iff amp lfloor x rfloor amp lt n n lt x amp iff amp n amp lt lceil x rceil x leq n amp iff amp lceil x rceil amp leq n n leq x amp iff amp n amp leq lfloor x rfloor end aligned dd sutrehlaniaesdngihehnthungphlcakkarbwkdwycanwnetm n phayinfngkchn x n x n x n x n x n x displaystyle begin aligned lfloor x n rfloor amp lfloor x rfloor n lceil x n rceil amp lceil x rceil n x n amp x end aligned dd xyangirktam sutrdanbnxacimepncringesmxiptha n imichcanwnetm aetcaidphldngniaethn x y x y x y 1 x y 1 x y x y displaystyle begin aligned amp lfloor x rfloor lfloor y rfloor amp leq lfloor x y rfloor amp leq lfloor x rfloor lfloor y rfloor 1 amp lceil x rceil lceil y rceil 1 amp leq lceil x y rceil amp leq lceil x rceil lceil y rceil end aligned dd khwamsmphnthrahwangfngkchn aekikh cakniyamerasamarthsrupidwa x x displaystyle lfloor x rfloor leq lceil x rceil krnithimikhaethaknkhuxemux x epncanwnetm x x 0 if x Z 1 if x Z displaystyle lceil x rceil lfloor x rfloor begin cases 0 amp mbox if x in mathbb Z 1 amp mbox if x notin mathbb Z end cases dd sahrbcanwnetm n praoykhnicaepncring n n n displaystyle lfloor n rfloor lceil n rceil n dd slbekhruxnghmayinxarkiwemntkhxngfngkchnphunaelaephdan x x 0 displaystyle lfloor x rfloor lceil x rceil 0 dd x x 0 if x Z 1 if x Z displaystyle lfloor x rfloor lfloor x rfloor begin cases 0 amp mbox if x in mathbb Z 1 amp mbox if x notin mathbb Z end cases dd x x 0 if x Z 1 if x Z displaystyle lceil x rceil lceil x rceil begin cases 0 amp mbox if x in mathbb Z 1 amp mbox if x notin mathbb Z end cases dd slbekhruxnghmayinxarkiwemntkhxngphakhessswn x x 0 if x Z 1 if x Z displaystyle x x begin cases 0 amp mbox if x in mathbb Z 1 amp mbox if x notin mathbb Z end cases dd fngkchnphun fngkchnephdan aelaphakhessswn epnfngkchnnicphl x x x x x x displaystyle begin aligned Big lfloor lfloor x rfloor Big rfloor amp lfloor x rfloor Big lceil lceil x rceil Big rceil amp lceil x rceil Big x Big amp x end aligned dd ichfngkchnphunaelaephdansxnkn phllphththiidkhuxfngkchnthixyuinsud x x x x displaystyle begin aligned Big lfloor lceil x rceil Big rfloor amp lceil x rceil Big lceil lfloor x rfloor Big rceil amp lfloor x rfloor end aligned dd kahndih y mikhakhngtw x mod y caepnnicphl x mod y mod y x mod y displaystyle x bmod y bmod y x bmod y dd aelacakniyam x x mod 1 displaystyle x x bmod 1 dd phlhar aekikh tha n 0 aelw 0 m n 1 1 n displaystyle 0 leq left frac m n right leq 1 frac 1 n dd tha n epncanwnetmbwk 11 x m n x m n displaystyle left lfloor frac x m n right rfloor left lfloor frac lfloor x rfloor m n right rfloor dd x m n x m n displaystyle left lceil frac x m n right rceil left lceil frac lceil x rceil m n right rceil dd tha m epncanwnetmbwk 12 n n m n 1 m n m 1 m displaystyle n left lceil frac n m right rceil left lceil frac n 1 m right rceil dots left lceil frac n m 1 m right rceil dd n n m n 1 m n m 1 m displaystyle n left lfloor frac n m right rfloor left lfloor frac n 1 m right rfloor dots left lfloor frac n m 1 m right rfloor dd sungemux m 2 cathaihekidsmbtini n n 2 n 2 displaystyle n left lfloor frac n 2 right rfloor left lceil frac n 2 right rceil dd krnithwipsahrbcanwnetmbwk m 13 m x x x 1 m x m 1 m displaystyle lceil mx rceil left lceil x right rceil left lceil x frac 1 m right rceil dots left lceil x frac m 1 m right rceil dd m x x x 1 m x m 1 m displaystyle lfloor mx rfloor left lfloor x right rfloor left lfloor x frac 1 m right rfloor dots left lfloor x frac m 1 m right rfloor dd sutrtxipnisamarthepliynrahwangfngkchnphunkbfngkchnephdan emux m epncanwnetmbwk 14 n m n m 1 m n 1 m 1 displaystyle left lceil frac n m right rceil left lfloor frac n m 1 m right rfloor left lfloor frac n 1 m right rfloor 1 dd n m n m 1 m n 1 m 1 displaystyle left lfloor frac n m right rfloor left lceil frac n m 1 m right rceil left lceil frac n 1 m right rceil 1 dd tha m aela n epncanwnetmbwkaelaepncanwnechphaasmphthth caid i 1 n 1 i m n 1 2 m 1 n 1 displaystyle sum i 1 n 1 left lfloor frac im n right rfloor frac 1 2 m 1 n 1 dd enuxngcaksutrkhangtn m aela n mikhwamsmmatrtxkn cungsamarthkracayfngsaykhxngekhruxnghmayethakbiddngni m n 2 m n n 1 m n n m 2 n m m 1 n m displaystyle left lfloor frac m n right rfloor left lfloor frac 2m n right rfloor dots left lfloor frac n 1 m n right rfloor left lfloor frac n m right rfloor left lfloor frac 2n m right rfloor dots left lfloor frac m 1 n m right rfloor dd aelasahrbkrnithwip emux m aela n epncanwnetmbwk x n m x n 2 m x n n 1 m x n displaystyle left lfloor frac x n right rfloor left lfloor frac m x n right rfloor left lfloor frac 2m x n right rfloor dots left lfloor frac n 1 m x n right rfloor x m n x m 2 n x m m 1 n x m displaystyle left lfloor frac x m right rfloor left lfloor frac n x m right rfloor left lfloor frac 2n x m right rfloor dots left lfloor frac m 1 n x m right rfloor dd singnieriykwa kdkaraelkepliyn 15 phlharsxn aekikh sahrbcanwnetmbwk m aela n aelacanwncring x x m n x m n displaystyle left lfloor frac lfloor x m rfloor n right rfloor left lfloor frac x mn right rfloor dd x m n x m n displaystyle left lceil frac lceil x m rceil n right rceil left lceil frac x mn right rceil dd khwamtxenuxng aekikh fngkchnthnghmdthiklawmaimepnfngkchntxenuxng aetepnfngkchnechingesnepnchwng sung x kb x epnfngkchnkhngtwinaetlachwng aelaimtxenuxngthicanwnetm x kimtxenuxngthicanwnetmechnkn aetimidepnfngkchnkhngtw swn x mod y epnfngkchnthiimtxenuxngthiphhukhunkhxng y thaih y mikhakhngtw x thuxidwaepnfngkchnkungtxenuxngbn upper semi continuous function aela x kb x epnfngkchnkungtxenuxnglang lower semi continuous function swn x mod y caepnfngkchnkungtxenuxnglangemux y epncanwnbwk aelaepnfngkchnkungtxenuxngbnemux y epncanwnlb karkracayxnukrm aekikh enuxngcakfngkchnthnghmdthiklawmaimtxenuxng cungimmifngkchnidthiekhiynaethndwykarkracayxnukrmkalngid aelaenuxngcakfngkchnphunaelaephdanimepnkhab periodic sxngfngkchnnicungimmikarkracayxnukrmfurieysahrb x mod y odythi y mikhakhngtw mikarkracayfurieydngni 16 x mod y y 2 y p k 1 sin 2 p k x y k displaystyle x bmod y frac y 2 frac y pi sum k 1 infty frac sin left frac 2 pi kx y right k dd dwysmbtithiwa x x mod 1 dngnncaid x 1 2 1 p k 1 sin 2 p k x k displaystyle x frac 1 2 frac 1 pi sum k 1 infty frac sin 2 pi kx k dd incudthiekidkhwamimtxenuxng xnukrmfurieycaluekhakhaidkhahnungthiepnkhaechliykhxnglimitthangsayaelathangkhwa sahrb x mod y sung y mikhakhngtw xnukrmfurieycaluekha y 2 thitaaehnngphhukhunkhxng y swnincudxun thimikhwamtxenuxng xnukrmcaluekhakhacringcaksutrthiwa x x x cungsrupidwa x x 1 2 1 p k 1 sin 2 p k x k displaystyle lfloor x rfloor x frac 1 2 frac 1 pi sum k 1 infty frac sin 2 pi kx k dd karprayuktich aekikhphakhessswn aekikh phakhessswn fractional part epnfngkchnfneluxy ekhiynaethndwy x sahrbthukcanwncring x sungniyamodysutrni 17 x x x displaystyle x x lfloor x rfloor dd phakhessswnkhxng x camikhaxyurahwang 0 kb 1 nnkhux 0 x lt 1 displaystyle 0 leq x lt 1 dd tha x epncanwnbwk fngkchnphunkhxng x samarthsrupidxyangngaywa epnkha x thitdtwelkhhlngcudthsniymxxkip dngnnphakhessswnkhxng x kkhuxkha x thitdtwelkhhnacudthsniymxxkip mxduol aekikh kardaeninkarmxduol modulo ekhiynaethndwy x mod y sahrbcanwncring x aela y thb essehluxcinottuddaodythi y 0 niyamodysutrni x mod y x y x y displaystyle x bmod y x y left lfloor frac x y right rfloor dd phllphthkhxng x mod y camikhaxyurahwang 0 thung y nnkhux y gt 0 0 x mod y lt y displaystyle y gt 0 Rightarrow 0 leq x bmod y lt y dd y lt 0 0 x mod y gt y displaystyle y lt 0 Rightarrow 0 geq x bmod y gt y dd tha x epncanwnetmaela y epncanwnetmbwk x mod y x mod y displaystyle x bmod y equiv x pmod y dd fngkchn x mod y odythi y epnkhakhngtw caepnfngkchnfneluxyechnkn karaelkepliynkalngsxng aekikh karphisucnkaraelkepliynkalngsxng quadratic reciprocity khxngekaskhrngthisam sungprbprungaekikhodyixesnsitn Ferdinand Eisenstein misxngkhntxnphunthandngni 18 19 kahndih p aela q epncanwnechphaathiepncanwnkhikhnlatwkn aelakahndih m p 1 2 n q 1 2 displaystyle m frac p 1 2 n frac q 1 2 dd khntxnaerk sylksnelxchxngdrthuknamaekhiynxthibaydwybthtngkhxngekas q p 1 q p 2 q p m q p displaystyle left frac q p right 1 left lfloor frac q p right rfloor left lfloor frac 2q p right rfloor dots left lfloor frac mq p right rfloor p q 1 p q 2 p q n p q displaystyle left frac p q right 1 left lfloor frac p q right rfloor left lfloor frac 2p q right rfloor dots left lfloor frac np q right rfloor dd khntxnthisxngkhuxichkarihehtuphlthangerkhakhnitephuxthicaaesdngwa q p 2 q p m q p p q 2 p q n p q m n displaystyle left lfloor frac q p right rfloor left lfloor frac 2q p right rfloor dots left lfloor frac mq p right rfloor left lfloor frac p q right rfloor left lfloor frac 2p q right rfloor dots left lfloor frac np q right rfloor mn dd caknncungexasutrthngsxngmarwmkn thaihekidkaraelkepliynkalngsxng p q q p 1 m n 1 p 1 2 q 1 2 displaystyle left frac p q right left frac q p right 1 mn 1 frac p 1 2 frac q 1 2 dd sutrtxipniepnkarichfngkchnphunephuxaesdnglksnakalngsxngkhxngcanwnkhnadelk mxduolkbcanwnechphaa p 20 2 p 1 p 1 4 displaystyle left frac 2 p right 1 left lfloor frac p 1 4 right rfloor 3 p 1 p 1 6 displaystyle left frac 3 p right 1 left lfloor frac p 1 6 right rfloor dd karpdess aekikh dubthkhwamhlkthi karpdess karpdesscanwnbwk x ipyngcanwnetmthixyuiklthisud caichwithikarpdessodykhrunghnungihpdkhunodypkti samarthekhiynidepn x 0 5 displaystyle lfloor x 0 5 rfloor canwnhlk aekikh canwnhlkkhxngcanwnetmbwk k inthan b khanwnidcak log b k 1 displaystyle lfloor log b k rfloor 1 twprakxbkhxngaefkthxeriyl aekikh kahndih n epncanwnetmbwkaela p epncanwnechphaa sungepnbwkechnkn kalngsungsudkhxng p thisamarthhar n aefkthxeriylkhxng n idlngtw khanwnidcaksutrni 21 n p n p 2 n p 3 displaystyle left lfloor frac n p right rfloor left lfloor frac n p 2 right rfloor left lfloor frac n p 3 right rfloor dots dd phlrwmkhxngxnukrmnicakd enuxngcakfngkchnphuncaihphllphthepnsunyemux pk gt n ladbbitti aekikh ladbbitti Beatty sequence idaesdngiwwacanwnxtrrkyathiepnbwkthukcanwn emuxphanfngkchnphunaelwcaepnswnhnungkhxngcanwnthrrmchatisungepnsmachikkhxngladbsxngladbkhukn 22 khakhngtwxxyelxr aemsechorni aekikh sutrthiichaesdngkhakhngtwxxyelxr aemsechorni g 0 57721 56649 thiekiywkbfngkchnphunaelaephdan twxyangechn 23 g 1 1 x 1 x d x displaystyle gamma int 1 infty left 1 over lfloor x rfloor 1 over x right dx dd g lim n 1 n k 1 n n k n k displaystyle gamma lim n to infty frac 1 n sum k 1 n left left lceil frac n k right rceil frac n k right dd g k 2 1 k log 2 k k 1 2 1 3 2 1 4 1 5 1 6 1 7 3 1 8 1 15 displaystyle gamma sum k 2 infty 1 k frac left lfloor log 2 k right rfloor k tfrac 1 2 tfrac 1 3 2 left tfrac 1 4 tfrac 1 5 tfrac 1 6 tfrac 1 7 right 3 left tfrac 1 8 dots tfrac 1 15 right dots dd fngkchnsitakhxngrimnn aekikh fngkchnphakhessswnpraktinkaraeckaecngpriphnthkhxngfngkchnsitakhxngrimnn sungsamarthphisucnidxyangtrngiptrngmadwykarhapriphnthodykaraeykswn 24 odysmmtiwa f x khuxfngkchnid thimikhwamtxenuxngaelahaxnuphnthidinchwngpid a b a lt n b ϕ n a b ϕ x d x a b x 1 2 ϕ x d x a 1 2 ϕ a b 1 2 ϕ b displaystyle sum a lt n leq b phi n int a b phi x dx int a b left x tfrac 1 2 right phi x dx left a tfrac 1 2 right phi a left b tfrac 1 2 right phi b dd kahndih f n n s sahrbswncringkhxng s thimakkwa 1 aelakahndih a b epncanwnetm sung b mikhaekhaiklxnnt caid z s s 1 1 2 x x s 1 d x 1 s 1 1 2 displaystyle zeta s s int 1 infty frac frac 1 2 x x s 1 dx frac 1 s 1 frac 1 2 dd sutrnisamarthichidkbthukkhakhxng s thimiswncringmakkwa 1 ykewnemux s 1 ephraacudnnepnophl aelaemuxrwmekhakbkarkracayfurieykhxng x cathaihsamarthichfngkchnsitaidkbthngranabechingsxn aelaichsahrbphisucnsmkarechingfngkchn 25 sahrb s s i t phayinaethbwikvt critical strip echn 0 lt s lt 1 Balthasar van der Pol idichsutrniephuxsrangkhxmphiwetxraexnalxksahrbkhanwnrakkhxngfngkchnsitaemux kh s 1974 26 z s s e s w e w e w e i t w d w displaystyle zeta s s int infty infty e sigma omega lfloor e omega rfloor e omega e it omega d omega dd sutrekiywkbcanwnechphaa aekikh n caepncanwnechphaa ktxemux 27 m 1 n m n 1 m 2 displaystyle sum m 1 infty left left lfloor frac n m right rfloor left lfloor frac n 1 m right rfloor right 2 dd kahndih r gt 1 epncanwnetm pn khuxcanwnechphaatwthi n aela a sungniyamody a m 1 p m r m 2 displaystyle alpha sum m 1 infty p m r m 2 dd eracaidwa 28 p n r n 2 a r 2 n 1 r n 1 2 a displaystyle p n left lfloor r n 2 alpha right rfloor r 2n 1 left lfloor r n 1 2 alpha right rfloor dd micanwn 8 1 3064 sungmismbtiwa canwnthnghmdinladb 8 3 8 9 8 27 displaystyle left lfloor theta 3 right rfloor left lfloor theta 9 right rfloor left lfloor theta 27 right rfloor dots epncanwnechphaa 29 aelamicanwn w 1 9287800 sungmismbtiwa canwnthnghmdinladb 2 w 2 2 w 2 2 2 w displaystyle left lfloor 2 omega right rfloor left lfloor 2 2 omega right rfloor left lfloor 2 2 2 omega right rfloor dots epncanwnechphaa 30 p x epnfngkchnnbcanwnechphaa khuxnbwamicanwnechphaaxyuethairthimikhanxykwahruxethakb x sungepnkarldthxnmacakthvsdibthkhxngwilsnthiwa 31 p n j 2 n j 1 1 j j 1 j displaystyle pi n sum j 2 n left lfloor frac j 1 1 j left lfloor frac j 1 j right rfloor right rfloor dd aelathahak n 2 caid 32 p n j 2 n 1 k 2 j j k k j displaystyle pi n sum j 2 n left lfloor frac 1 sum k 2 j left lfloor left lfloor frac j k right rfloor frac k j right rfloor right rfloor dd aetsutrinswnnithiklawmathnghmd immikarnaipichcringinthangptibti khxpyhathiaekid aekikh ramanucnidsngkhxpyhathiekiywkbfngkchnphunehlanilngin Journal of the Indian Mathematical Society 33 tha n epncanwnetmbwk cngphisucnwa n 3 n 2 6 n 4 6 n 2 n 3 6 displaystyle left lfloor tfrac n 3 right rfloor left lfloor tfrac n 2 6 right rfloor left lfloor tfrac n 4 6 right rfloor left lfloor tfrac n 2 right rfloor left lfloor tfrac n 3 6 right rfloor 1 2 n 1 2 1 2 n 1 4 displaystyle left lfloor tfrac 1 2 sqrt n tfrac 1 2 right rfloor left lfloor tfrac 1 2 sqrt n tfrac 1 4 right rfloor n n 1 4 n 2 displaystyle left lfloor sqrt n sqrt n 1 right rfloor left lfloor sqrt 4n 2 right rfloor khxpyhathiaekimid aekikh cakkarsuksakhxpyhakhxngwaring idnaipsupyhathiyngimsamarthaekidcnpccubn nnkhuxcringhruximthicanwnetmbwk k id odythi k 6 thaihenguxnikhniepncring 34 3 k 2 k 3 2 k gt 2 k 3 2 k 2 displaystyle 3 k 2 k left lfloor left tfrac 3 2 right k right rfloor gt 2 k left lfloor left tfrac 3 2 right k right rfloor 2 dd ekhirt mahelxr ekhyphisucnaelasrupwa miephiyngcanwncakdcanwnhnungethannsahrb k thitrngtamenguxnikhkhangtn nxkehnuxcaknnyngimsamarthsrupid 35 karichnganinkhxmphiwetxr aekikh krafkhxngkaraeplngepncanwnetm int phasaopraekrm aekikh phasasi phasasiphlsphls aelaphasaxun thiekiywkhxng echnphasasicharp phasacawa mifngkchnmatrthan floor sahrbfngkchnphun 36 aela ceil sahrbfngkchnephdan 37 nxkcakniyngmixikwithikarhnungkhuxkaraeplngcanwncudlxytw floating point ipepncanwnetmodykarkakbchnidkhxmul int i value i sungcathaihtwelkhthixyuhlngcudthsniymthuktdxxkipthnghmd imwacanwnnncaepnbwkhruxlb hruxklawxiknyhnungkhux thukpdessipyngkhasuny 38 echingxrrth aekikh Graham Knuth amp Patashnik Ch 3 1 Graham Knuth amp Patashnik Ch 3 1 Lemmermeyer pp 10 23 twxyangechn Cassels Hardy amp Wright and Ribenboim ichsykrnkhxngekas inkhnathi Graham Knuth amp Patashnik aela Crandall amp Pomerance ichsykrnkhxngxiewxrsn Higham p 25 Iverson Sullivan p 86 Mathwords Floor Function Mathwords Ceiling Function Graham Knuth amp Patashink Ch 3 Graham Knuth amp Patashnik p 72 Graham Knuth amp Patashnik p 85 Graham Knuth amp Patashnik p 85 and Ex 3 15 Graham Knuth amp Patashnik Ex 3 12 Graham Knuth amp Patashnik p 94 Titchmarsh p 15 Eq 2 1 7 Graham Knuth amp Patashnik p 70 Lemmermeyer 1 4 Ex 1 32 1 33 Hardy amp Wright 6 11 6 13 Lemmermeyer p 25 Hardy amp Wright Th 416 Graham Knuth amp Patashnik pp 77 78 sutrehlanimacakbthkhwam khakhngtwxxyelxr aemsechorni aelayngmixikmak Titchmarsh p 13 Titchmarsh pp 14 15 Crandall amp Pomerance p 391 Crandall amp Pomerance Ex 1 3 p 46 Hardy amp Wright 22 3 Ribenboim p 186 Ribenboim p 186 Ribenboim p 181 Crandall amp Pomerance Ex 1 4 p 46 Ramanujan Question 723 Papers p 332 Hardy amp Wright p 337 Mahler K On the fractional parts of the powers of a rational number II 1957 Mathematika 4 pages 122 124 http www cplusplus com reference clibrary cmath floor html http www cplusplus com reference clibrary cmath ceil html ISO standard for C 6 3 1 4 p 43 xangxing aekikhJ W S Cassels 1957 An introduction to Diophantine approximation Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics 45 Cambridge University Press Crandall Richard Pomeramce Carl 2001 Prime Numbers A Computational Perspective New York Springer ISBN 0 387 04777 9Check isbn value checksum help Graham Ronald L Knuth Donald E Patashnik Oren 1994 Concrete Mathematics Reading Ma Addison Wesley ISBN 0 201 55802 5 Hardy G H Wright E M 1980 An Introduction to the Theory of Numbers Fifth edition Oxford Oxford University Press ISBN 978 0198531715 Nicholas J Higham Handbook of writing for the mathematical sciences SIAM ISBN 0898714206 p 25 ISO IEC ISO IEC 9899 1999 E Programming languages C 2nd ed 1999 Section 6 3 1 4 p 43 Iverson Kenneth E 1962 A Programming Language Wiley Lemmermeyer Franz 2000 Reciprocity Laws from Euler to Eisenstein Berlin Springer ISBN 3 540 66967 4Check isbn value checksum help Ramanujan Srinivasa 2000 Collected Papers Providence RI AMS Chelsea ISBN 978 0821820766 Ribenboim Paulo 1996 The New Book of Prime Number Records New York Springer ISBN 0 387 94457 5 Michael Sullivan Precalculus 8th edition p 86 Titchmarsh Edward Charles Heath Brown David Rodney Roger 1986 The Theory of the Riemann Zeta function 2nd ed Oxford Oxford U P ISBN 0 19 853369 1duephim aekikhfngkchncanwnetmiklsud fngkchnkhnbnid ekhathungcak https th wikipedia org w index php title fngkchnphunaelafngkchnephdan amp oldid 9190840, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,