การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง (อังกฤษ: continuous Fourier transform) เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูรีเยนั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม

(ดูเพิ่มเติมที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย)

นิยาม

สมมุติ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง F และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย

การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง	การแปลงกลับ
${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,dt}$	${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\{F(\omega )\}=f(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{\mathrm {i} \omega t}\,d\omega }$

โดยที่ จำนวนจริง ω คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง F(ω) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(t) ที่แต่ละความถี่

สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor) ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$  ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ ${\displaystyle \,1/2\pi \,}$  เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ ${\displaystyle \,1/2\pi \,}$  (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง f(t) ไปเป็น F(ω) และแปลงกลับ จะได้ f(t) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด เรียกคุณสมบัติว่า ยูนิแทรี (unitary)

ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม อาจใช้การแปลงไปเป็นฟังก์ชันของความถี่ แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม ω นิยมใช้สัญลักษณ์ f หรือ ${\displaystyle \nu }$  แทนความถี่โดยที่ ${\displaystyle f=2\pi \omega }$ 

ตารางต่อไปนี้สรุปการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องแบบต่างๆ ที่นิยมใช้ เพื่อป้องกันความสับสน ในตารางข้างล่างนี้ f หมายถึงความถึ่ ส่วนฟังก์ชัน ใช้ x(t) แทน f(t) ส่วนเนื้อหาในหัวข้อถัดๆไป จะใช้การแปลงแบบแรกในตารางเป็นหลัก

สรุปรูปแบบที่นิยมของการแปลงฟูรีเย

ความถี่เชิงมุม ${\displaystyle \omega \,}$  (rad/s)	ยูนิแทรี	${\displaystyle X_{1}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\,dt\ ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{2}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,}$  ${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }X_{1}(\omega )\ e^{i\omega t}\,d\omega \ }$
	ไม่เป็นยูนิแทรี	${\displaystyle X_{2}(\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i\omega t}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(\omega )=X_{3}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)\,}$  ${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X_{2}(\omega )\ e^{i\omega t}\ d\omega \ }$
ความถี่ ${\displaystyle f\,}$  (hertz)	ยูนิแทรี	${\displaystyle X_{3}(f)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-i2\pi ft}\ dt\ ={\sqrt {2\pi }}\ X_{1}(2\pi f)=X_{2}(2\pi f)\,}$  ${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{\infty }X_{3}(f)\ e^{i2\pi ft}\,df\ }$

รูปทั่วไป

คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้

${\displaystyle F(\omega )={\sqrt {\frac {|b|}{(2\pi )^{1-a}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-ib\omega t}\,dt}$

${\displaystyle f(t)={\sqrt {\frac {|b|}{(2\pi )^{1+a}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{ib\omega t}\,d\omega }$

โดยที่ ค่าคงที่ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก ${\displaystyle (a,b)=(0,1)}$  สำหรับการแปลงไม่เป็นยูนิทารี ${\displaystyle (a,b)=(1,1)}$ 

ค่า a และ b ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ ${\displaystyle (a,b)=(0,2\pi )}$  ซึ่งในกรณีนี้ ${\displaystyle \omega }$  จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญญลักษณ์ ${\displaystyle \nu }$  หรือ f ในกรณีที่ a และ b เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก a มีหน่วยเวลา b จะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที

การแปลงในมิติที่สูงขึ้น

สำหรับฟังก์ชัน f(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องจะกำหนดโดย

${\displaystyle F(\mathbf {k} )=\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}f(\mathbf {x} )\,e^{-i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$ 

โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:

${\displaystyle \delta (\mathbf {k} )=\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{\pm i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {x} }$ 

เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right)^{N}\int _{\mathbb {R} ^{N}}F(\mathbf {k} )\,e^{+i\,\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\,d\mathbf {k} }$ 

คู่ของการแปลง

ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ โดยที่สัญลักษณ์ ${\displaystyle f(t)\,\iff \,F(\omega )}$  หมายถึง ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(\omega )}$ 

คุณสมบัติ	ฟังก์ชัน		ผลการแปลงฟูรีเย
	${\displaystyle \,f(t),g(t)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle \,F(\omega ),G(\omega )\,}$
ความเป็นเชิงเส้น	${\displaystyle af(t)+bg(t)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle aF(\omega )+bG(\omega )\,}$
การสลับ *	${\displaystyle F(t)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle f(-\omega )\,}$
การเลื่อน (translation)	${\displaystyle f(t-a)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle e^{-i\omega a}F(\omega )\,}$
การมอดูเลต (modulation)	${\displaystyle e^{iat}f(t)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle F(\omega -a)\,}$
สังยุค (conjugation)	${\displaystyle {\overline {f(t)}}\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle {\overline {F(-\omega )}}\,}$
การสเกล	${\displaystyle f\left({\frac {t}{a}}\right)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle |a|F(a\omega )\,}$
การคอนโวลูท (convolution) *	${\displaystyle (f*g)(t)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}F(\omega )G(\omega )\,}$
การคูณ *	${\displaystyle f(t)g(t)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\pi }}}(F*G)(\omega )\,}$
อนุพันธ์ของเวลา	${\displaystyle f^{(n)}(t)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle (i\omega )^{n}F(\omega )\,}$
อนุพันธ์ของความถี่	${\displaystyle (-it)^{n}f(t)\,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle F^{(n)}(\omega )\,}$
ปฏิยานุพันธ์ของเวลา	${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \,}$	${\displaystyle \iff }$	${\displaystyle {\frac {1}{i\omega }}F(\omega )+\pi F(0)\cdot \delta (\omega )\,}$

หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์ ${\displaystyle 1,2\pi ,{\sqrt {2\pi }}}$  แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง