ริงหนึ่งๆ ของเซตR ที่มีการดำเนินการทวิภาคของการบวก + : R × R → R และการคูณ · : R × R → R (ในขณะที่เครื่องหมาย × หมายถึงผลคูณคาร์ทีเซียน) มีส่วนประกอบต่อไปนี้
กรุป (R, +) ที่เรียกว่าอาบีเลียนกรุป (abelian group) พร้อมกับสมาชิกเอกลักษณ์0 ดังนั้นสำหรับ ∀(a, b, c) ∈ R จะทำให้เกิดสัจพจน์ต่อไปนี้
a + b ∈ R
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a
a + b = b + a
∃(−a) ∈ R ซึ่งทำให้ a + (−a) = (−a) + a = 0
กรุป (R, ·) ที่เรียกว่าโมนอยด์ (monoid) พร้อมกับสมาชิกเอกลักษณ์ 1 ดังนั้นสำหรับ ∀(a, b, c) ∈ R จะทำให้เกิดสัจพจน์ต่อไปนี้
a · b ∈ R
(a · b) · c = a · (b · c)
1 · a = a · 1 = a
กฎการกระจายการคูณบนการบวก ได้แก่
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
ในเรื่องของกรุป เครื่องหมาย · มักจะถูกละทิ้งไป แล้วนำตัวแปรสองตัวเขียนติดกันแทนการคูณ เรียกวิธีการนี้ว่า juxtaposition นอกจากนั้นริงมีการใช้ลำดับของการดำเนินการอีกด้วย ซึ่งการคูณสำคัญกว่าการบวก ดังนั้น a + bc จึงมีความหมายเหมือนกับ a + (b · c)
ถึงแม้ว่าการบวกในริงจะมีสมบัติการสลับที่ นั่นคือ a + b = b + a แต่สำหรับการคูณนั้นไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัตินี้ หมายความว่า a · b ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ b · a ตัวอย่างริงที่ไม่มีสมบัติการสลับที่ของการคูณเช่น ริงของเมทริกซ์จัตุรัส เป็นต้น สำหรับริงที่มีคุณสมบัติการสลับที่ของการคูณ (เช่นริงของจำนวนเต็ม) จะเรียกว่า ริงสลับที่ (commutative ring)
ริงไม่จำเป็นต้องมีตัวผกผันการคูณเช่นกัน สมาชิก a ในริงหนึ่งๆ จะเรียกว่า หน่วย (unit) ถ้าสมาชิกนั้นมีตัวผกผันภายใต้การคูณของริงนั้น จากตัวอย่าง สมมติให้ b เป็นสมาชิกอีกตัวหนึ่งในริงซึ่งทำให้ a · b = b · a = 1 (1 ในที่นี้หมายถึงสมาชิกเอกลักษณ์) ดังนั้น a มีตัวผกผันเป็น b หรือเขียนแทนได้ด้วย a−1 = b จะได้ว่า a นั้นเป็นหน่วยหนึ่งของริงดังกล่าว เซตของหน่วยทั้งหมดในริง R สามารถสร้างเป็นกรุปใหม่ภายใต้การคูณของริง เขียนแทนด้วย U(R) หรือ R*
ริงนั้นไม่จำเป็นต้องมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ แต่ในบางขอบเขตของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและพีชคณิตสลับที่ใช้ริงสลับที่เป็นหลัก นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาในสาขาดังกล่าว อาทิ Alexander Grothendieck ผู้เขียนตำรา Éléments de géométrie algébrique มักใช้คำว่า ริง แทนความหมายของริงสลับที่ และใช้คำว่า ริงที่ไม่จำเป็นต้องมีสมบัติการสลับที่ แทนความหมายของริง
สิงหาคม 18, 2021
คณ, ตศาสตร, งก, ามภาษา, ในบทความน, ไว, ให, านและผ, วมแก, ไขบทความศ, กษาเพ, มเต, มโดยสะดวก, เน, องจากว, เด, ยภาษาไทยย, งไม, บทความด, งกล, าว, กระน, ควรร, บสร, างเป, นบทความโดยเร, วท, ดในทางคณ, ตศาสตร, ring, หมายถ, งโครงสร, างเช, งพ, ชคณ, ตประเภทหน, งประกอบด, วย. lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisudinthangkhnitsastr ring ring hmaythungokhrngsrangechingphichkhnitpraephthhnung sungprakxbdwykhunsmbtitang thangphichkhnitkhxngcanwnetm ringhnung mikardaeninkarsxngchnidthimkeriykwa karbwk kb karkhun tangkbkrup group thimikardaeninkarephiyngchnidediyw sakhahnungkhxngphichkhnitnamthrrmthisuksaekiywkbring eriykwa thvsdiringniyamthwip aekikhringhnung khxngest R thimikardaeninkarthwiphakhkhxngkarbwk R R R aelakarkhun R R R inkhnathiekhruxnghmay hmaythungphlkhunkharthiesiyn miswnprakxbtxipni krup R thieriykwaxabieliynkrup abelian group phrxmkbsmachikexklksn 0 dngnnsahrb a b c R cathaihekidscphcntxipni a b R a b c a b c 0 a a a b b a a R sungthaih a a a a 0 krup R thieriykwaomnxyd monoid phrxmkbsmachikexklksn 1 dngnnsahrb a b c R cathaihekidscphcntxipni a b R a b c a b c 1 a a 1 a kdkarkracaykarkhunbnkarbwk idaek a b c a b a c a b c a c b c ineruxngkhxngkrup ekhruxnghmay mkcathuklathingip aelwnatwaeprsxngtwekhiyntidknaethnkarkhun eriykwithikarniwa juxtaposition nxkcaknnringmikarichladbkhxngkardaeninkarxikdwy sungkarkhunsakhykwakarbwk dngnn a bc cungmikhwamhmayehmuxnkb a b c thungaemwakarbwkinringcamismbtikarslbthi nnkhux a b b a aetsahrbkarkhunnnimcaepntxngmikhunsmbtini hmaykhwamwa a b imcaepntxngethakb b a twxyangringthiimmismbtikarslbthikhxngkarkhunechn ringkhxngemthrikscturs epntn sahrbringthimikhunsmbtikarslbthikhxngkarkhun echnringkhxngcanwnetm caeriykwa ringslbthi commutative ring ringimcaepntxngmitwphkphnkarkhunechnkn smachik a inringhnung caeriykwa hnwy unit thasmachiknnmitwphkphnphayitkarkhunkhxngringnn caktwxyang smmtiih b epnsmachikxiktwhnunginringsungthaih a b b a 1 1 inthinihmaythungsmachikexklksn dngnn a mitwphkphnepn b hruxekhiynaethniddwy a 1 b caidwa a nnepnhnwyhnungkhxngringdngklaw estkhxnghnwythnghmdinring R samarthsrangepnkrupihmphayitkarkhunkhxngring ekhiynaethndwy U R hrux R niyamaebbxun aekikh ringmikarniyamaebbxunxiksungphusuksakhwrramdrawng phuaetngtarabangthanidephimenguxnikhwacaepntxngih 0 1 aetbn ringchd trivial ring hrux ringsuny zero ring mismachikephiyngaekhtwediywethann phuaetngtarabangthan echn I N Herstein imidrabuwaringcaepntxngmiexklksnkarkhun aeteriykringthimiexklksnkarkhunwa ringexklksn unital unitary ring swn Nicolas Bourbaki rabuiwaelwwacaepntxngmi aeteriykringthiimmiexklksnwa ringethiym pseudo ring hrux rng macak ring thitdtw i xxkip twxyanghnungkhxngringethiymkhux ringkhxngcanwnkhu karkhuninringcaepntxngmismbtikarepliynhmusungbangkhrngkthuklaelyip ringthiyngkhngsmbtikarepliynhmueriykwa ringepliynhmu associative ring inthangtrngkham ringthiimcaepntxngmismbtinieriykwa ringimepliynhmu nonassociative ring ringnnimcaepntxngmismbtikarslbthikhxngkarkhun aetinbangkhxbekhtkhxngerkhakhnitechingphichkhnitaelaphichkhnitslbthiichringslbthiepnhlk nkkhnitsastrthisuksainsakhadngklaw xathi Alexander Grothendieck phuekhiyntara Elements de geometrie algebrique mkichkhawa ring aethnkhwamhmaykhxngringslbthi aelaichkhawa ringthiimcaepntxngmismbtikarslbthi aethnkhwamhmaykhxngringekhathungcak https th wikipedia org w index php title ring khnitsastr amp oldid 9354473, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,